非可換環の局所化

B2 サクラ

2017 年 09 月 05 日

Abstract

局所化は，代数系とその部分集合との組から，部分集合が可逆になるような拡大代数系の中で普遍的なものを得る操作を指す．このモチベーションとアイデアとは共に極めて自然なものであり，代数系を調べる際には勿論のこと，幾何をする上でも基本的である．本発表では環の局所化を概観し， Godie の定理を示すことを目標にする．最後に圏の局所化についても述べる．

Contents

1  Intro  1
2  可換環の局所化  2
3  非可換環の局所化  4
4  圏の局所化  17

1 Intro

この章では最も素朴な局所化の例として整数の構成と有理数の構成とを観察する．尚，次章以降で扱う一般論から従う証明は殆ど省略することに注意されたい．

Example 1.1 (自然数から整数の構成)三つ組 (ℕ, +, 0) について，加法は well-defined であり結合的で単位元 0 を持つが逆元について閉じていない^{*1}．逆元について閉じた代数系で，これを含む “最も小さい” 代数系は，素朴に考えると (ℤ, +, 0) であり，形式的に次のように構成される． ℕ^{∘} = {n ∈ ℕ | n ≥ 0} とおき， (a, b), (c, d) ∈ ℕ × ℕ^{∘} 上の関係 ∼ を (a, b) ∼ (c, d) ⟺ [a + d = b + c] と定めると，これは同値関係である．これを用いて ℤ̄ = ℕ × ℕ^{∘}/∼ と定め， ℤ̄ 上の加法 ¯+ を

\begin{aligned}¯+: & ℤ̄ × ℤ̄ & ⟶ & ℤ̄ \\ & ([(a, b)], [(c, d)]) & ⟼ & [(a + c, b + d)] \end{aligned}

と定めると，これは well-defined である． (ℤ̄, ¯+, [(0, 0)]) は整数 (ℤ, +, 0) と群として同型である．実際，

\begin{aligned}φ: & ℤ & ⟶ & ℤ̄ \\ & a & ⟼ & [(a, 0)] \end{aligned}

*1 このような代数系をモノイドという．逆元について閉じているモノイドを特に群という．

は同型写像である．以上の構成は局所化の一つの例であり，可換モノイドから可換群を構成する方法^{*2}に容易に一般化される．

Example 1.2 (整数から有理数の構成)五つ組 (ℤ, +, 0, ×, 1) について，各演算は well-defined であり結合的で各演算の単位元をもち，加法は逆元について閉じているが，乗法は逆元について閉じていない^{*3}．先の例と同様に逆元について閉じた代数系で，これを含む “最も小さい” 代数系を素朴に考えると (ℚ, +, 0, ×, 1) であり，形式的に次のように構成される． ℤ^{∘} = {n ∈ ℤ | n ≠ 0} とおき， (a, b), (c, d) ∈ ℤ × ℤ^{∘} 上の関係 ∼ を (a, b) ∼ (c, d) ⟺ [a × d = b × c] と定めると，これは同値関係である．これを用いて ℚ̄ = ℤ × ℤ^{∘}/∼ と定め， ℚ̄ 上の演算 ¯+, ¯× を

\begin{aligned}¯+: & ℚ̄ × ℚ̄ & ⟶ & ℚ̄ \\ & ([(a, b)], [(c, d)]) & ⟼ & [(ad + bc, bd)] \end{aligned} ,

\begin{aligned}¯×: & ℚ̄ × ℚ̄ & ⟶ & ℚ̄ \\ & ([(a, b)], [(c, d)]) & ⟼ & [(ac, bd)] \end{aligned}

と定めると，これは well-defined である． (ℚ̄, ¯+, [(0, 1)], ¯×, [(1, 1)]) は有理数体 (ℚ, +, 0, ×, 1) と環として同型である．実際，

\begin{aligned}φ: & ℚ & ⟶ & ℚ̄ \\ & a/b & ⟼ & [(a, b)] \end{aligned}

は同型写像である．以上の構成は局所化の一つの例であり，可換環から可換体を構成する方法に一般化される．

以上の二つの例は逆元を取る操作について閉じた拡大代数系を構成している点で類似性が認められる．最後の章で圏の局所化を定義し，二つの例が共に圏の局所化という視点で統一される様を見るが，差し詰め環の局所化について注目し，これを非可換の局所化に一般化することを目標とする．

2 可換環の局所化

この章では可換環の局所化について概説し，非可換の場合に同様の方法では局所化できないことを確認する．局所化の可換環論に於ける重要性の一つは素イデアル (の補集合) による局所化のもつ幾何的意味に求められるが，これについては省略したため可換環論の代表的な教科書である [3] や [4] を参照されたい．

Definition 2.1 (環) 五つ組 (R, +, 0, ×, 1) が環であるとは，次を満たすことである．

(R1) 三つ組 (R, +, 0) は群である． (R2) 三つ組 (R, ×, 1) はモノイドである． (R3) R の任意の元 a, b, c に対して， a × (b + c) = a × b + a × c, (a + b) × c = a × c + b × c が成立する．

更に次を満たす環を可換環という．

(R4) R の任意の元 a, b に対して， a × b = b × a が成立する．また，単に環 R といったときは五つ組 (R, +, 0, ×, 1) を指すものとする．紛らわしくないときは積の記号を省略する．

*2 この構成は Grothendieck 構成の一つであり，この構成で得た可換群を Grothendieck 群という．

*3 このような代数系を環という．特に 0 でない元の逆元が存在するような環を体という．

Definition 2.2 (積閉集合) 環 R の部分集合 S が積閉集合であるとは， S が R の乗法について部分モノイドであることである．

Notation 2.3 R を環と， X を R の部分集合とするとき，

l_{R}(X) = {a ∈ R | aX = {0}}, r_{R}(X) = {a ∈ R | Xa = {0}},
R^{×} = {a ∈ R | ∃b ∈ R [ab = ba = 1]}, R^{∘} = {a ∈ R | ∀b ∈ R [ab ≠ 0, ba ≠ 0]}

と書く． R^{×} の元を単元と， R^{∘} の元を正則元という．

Proposition 2.4 可換環 A と A の積閉集合 S との組に対して，次を満たす可換環 B と環準同型写像 f: A ⟶ B との組が同型を除いて一意に存在する．

(L) 任意の可換環 C と環準同型写像 g: A ⟶ C との組について， g[A] ⊂ C^{×} を満たすならば， h ∘ f = g を満たす環準同型 h: B → C が一意に存在する．

Proof) 可換環 B と環準同型写像 f との組が存在すると仮定したとき，一意性は性質 (L) より直ちに従う．以て存在を示せばよい． A × S 上の関係 ∼ を次で定義する:

(a, s) ∼ (b, t) ⟺ ∃u ∈ S [u(at − bs) = 0].

これは同値関係である．実際，反射律と対称律とは明白．推移律については， (a, s) ∼ (b, t), (b, t) ∼ (c, u) なる A × S の元を任意に取ると， x(at − bs) = y(bu − ct) = 0 を満たす S の元 x, y が取れて， uyx(at − bs) + sxy(bu − ct) = txy(au − cs) = 0 が成立している^{*4}ため， t, x, y ∈ S より， (a, s) ∼ (c, u) が得られるのでよい．ここで B = A × S/∼ とおき，写像 f を

\begin{aligned}f: & A & ⟶ & B \\ & a & ⟼ & [(a, 1)] \end{aligned}

と定める．次に定める二つの対応 ¯+, ¯× を考える:

\begin{aligned}¯+: & B × B & ⟶ & B \\ & ([(a, s)], [(b, t)]) & ⟼ & [(at + bs, st)] \end{aligned} ,

\begin{aligned}¯×: & B × B & ⟶ & B \\ & ([(a, s)], [(b, t)]) & ⟼ & [(ab, st)] \end{aligned} .

これは写像であり，五つ組 (B, ¯+, [(0, 1)], ¯×, [(1, 1)]) は環であり，写像 f は環準同型である．これらは各自確かめられたい．さて，いま構成した組 (B, f) が条件を満たすことを示す．可換環 C と環準同型写像 g との組 (C, g) であって g[C] ⊂ B^{×} を満たすものを任意に取る． B の元 b を任意に取ると， b = [(a_{b}, s_{b})] と書かれる．これに注意して，

\begin{aligned}h: & B & ⟶ & C \\ & b & ⟼ & g(a_{b})g(s_{b})^{−1} \end{aligned}

*4 ここで可換性を用いる必要がある．

と定めると，これは well-defined であり， h ∘ f = g を満たしている．実際， well-defined については， b = [(a, s)] = [(c, t)] と書かれるとき， u(at − cs) = 0 なる S の元 u が取れて， g(a)g(t) = g(at)g(u)g(u^{−1}) = g(uat)g(u^{−1}) = g(ucs)g(u^{−1}) = g(cs)g(u)g(u^{−1}) = g(c)g(s) が成立しているので，g(a)g(s)^{−1} = g(c)g(t)^{−1} が得られることよりよい．また可換性については， A の元 a を任意に取ると， h ∘ f(a) = h([(a, 1)]) = g(a)g(1)^{−1} = g(a) よりよい． □

Remark 2.5 可換環 A の部分集合 S̄ に対して S̄ の元を可逆にするような A の拡大環 B を考えると， R を含む最小の積閉集合 S を可逆にするので最初に与える集合が積閉集合である必要はない．

Notation 2.6 A を可換環と， S を A の乗法的集合とするとき，先の命題で同型を除いて一意に存在する環を A_{S},_{S} A, AS^{−1}, S^{−1}A などと書き，可換環 A の S による局所化という．また， A^{∘} は A の積閉集合であり，これによる A の局所化を特に A の全商環という．

先の命題の性質 (L) のことを局所化の普遍性といい，この構成を有意義たらしめている．次の章では一般の環と積閉集合との組に対して局所化の普遍性を満たすような拡大環の存在を示し，可換環を含むより大きい環のクラスに対して具体的な構成を与える．

3 非可換環の局所化

3.1 局所化の存在

非可換環の局所化について述べる前に非可換多項式環とイデアルを定義しておく．尚，剰余環は両側イデアルに対してのみ定まることに留意されたい．

Example 3.1 (非可換多項式環) Λ を添え字集合とする不定元の集合 {X_{λ} | λ ∈ Λ} の生成する自由モノイドを X^{∗} と書く．即ち， X^{∗} は Λ の有限列全体の集合，有限列をつなげる操作，空列の三つ組からなるモノイドである．このとき環 R⟨X_{λ} | λ ∈ Λ⟩ を，環 R 上の左加群として

R⟨X_{λ} | λ ∈ Λ⟩ = ⨁_{w∈X^{∗}} Rw

と定め， X_{λ_{1}}X_{λ_{2}} ⋯ X_{λ_{n}} × X_{μ_{1}}X_{μ_{2}} ⋯ X_{μ_{m}} = X_{λ_{1}}X_{λ_{2}} ⋯ X_{λ_{n}}X_{μ_{1}}X_{μ_{2}} ⋯ X_{μ_{m}} を満たすこの上の対応 × を R 双線形に伸ばして R 代数^{*5}とする． R 代数であることは各自確かめられたい．以上で定義された R 代数を {X_{λ} | λ ∈ Λ} を不定元としてもつ環 R 上の非可換多項式環という．

Definition 3.2 (左イデアル，右イデアル，両側イデアル) 環 R の部分集合 I について，次のように定義する．

(1) I が左イデアルであるとは， I が R の加法について部分群であり， RI ⊂ R を満たすことである．

(2) I は右イデアルであるとは， I が R の加法について部分群であり， IR ⊂ R を満たすことである．

(3) I は両側イデアルであるとは， I が R の加法について部分群であり， RI ⊂ R, IR ⊂ R を満たすことである． Proposition 3.3 (局所化の存在と一意性)環 R と R の積閉集合 S とに対して，次を満たす環 Q と環準同型写像 f: R ⟶ Q との組が同型を除いて一意に存在する．

*5 環 S と環準同型 f: R → S との組 (S, f) を R 代数という．

(L) 任意の環 P と環準同型写像 g: R ⟶ P との組について， g[R] ⊂ P^{×} を満たすならば， h ∘ f = g を満たす環準同型 h: Q → P が一意に存在する．

Proof) 可換環の場合と全く同様に一意性は性質 (L) から直ちに従う．以て存在を示せばよい．集合 {X_{r} | r ∈ R} ∪ {Y_{s} | s ∈ S} を不定元としてもつ環 R 上の非可換多項式環を R⟨X⟩ とおき，集合 {X_{r} + X_{r′} − X_{r+r′} | r, r′ ∈ R} ∪ {X_{r}X_{r′} − X_{rr′} | r, r′ ∈ R} ∪ {X_{s}Y_{s} − 1 | s ∈ S} ∪ {Y_{s}X_{s} − 1 | s ∈ S} の生成する両側イデアルを I とおく．環 Q を Q = R⟨X⟩/I と定め，対応 f を

\begin{aligned}f: & R & ⟶ & Q \\ & r & ⟼ & X_{r} \end{aligned}

と定めると，これは写像であり，組 (Q, f) が局所化の普遍性を満たすことは明白である． □

3.2 左分母条件

一つ前の節では一般に局所化が存在することを調べたが，元の振る舞いについては一切言及していなかった．この節では通分などの操作を通して具体的に計算のできるクラスとして左分母集合による局所化について調べる．

Definition 3.4 (left permutable set) 環 R の部分集合 S が left permutable set であるとは， (s, r) ∈ S × R について， Rs ∩ Sr ≠ ∅ を満たすことである．

Definition 3.5 (left reversible set) 環 R の部分集合 S が left reversible set であるとは， (s, r) ∈ S × R について， rs = 0 ならば， s′r = 0 なる S の元 s′ が存在することである．この性質を左分母条件という．

Definition 3.6 (left denominator set) 環 R の部分集合 S が left denominator set であるとは， S が left permutable かつ left reversibe な R の積閉集合であることである．

双対的に right permutable set， right reversible set， right denominator set が定義される．以下では left に限り議論するが，全く同様に right についても議論される．以下，環の左分母集合による局所化を具体的に構成し，この場合の元の振る舞いを明確にする．次の二つの補題は左分母集合の性質であり，基本的である．

Lemma 3.7 環 R と R の左分母集合 S とについて， n 個の S の任意の元 s_{1}, s_{2}, …, s_{n} に対して， r_{1}s_{1} = r_{2}s_{2} = ⋯ = r_{n}s_{n} を満たす R の元 r_{1}, r_{2}, …, r_{n} が存在する．

Proof) n に関する帰納法で容易に示される． □

Lemma 3.8 環 R と R の左分母集合 S とについて，各 i について a_{i}s_{i} = b_{i}s_{i} が成立している 2n 個の R の任意の元 a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, b_{1}, b_{2}, …, b_{n} と n 個の S の任意の元 s_{1}, s_{2}, …, s_{n} とに対して，各 i について ta_{i} = tb_{i} が成立するような S の元 t が存在する． Proof) n に関する帰納法で示す． n = 1 のとき， S が left reversible set であることから分かる． n = k + 1 のとき， n = k 以下で成立を仮定すると， i = 1, …, k に対して ta_{i} = tb_{i} が成立する S の元 t が取れる．また t′a_{k+1} = t′b_{k+1} が成立するような S の元 t′ が取れる． S は left permutable set なので， Rt ∩ St′ ≠ ∅ より qt = ut′ なる S × R の元 (u, q) が取れる． S は積閉より ut′ ∈ S であることと， qta_{k+1} = ut′a_{k+1} = ut′b_{k+1} = qtb_{k+1} であることとよりよい， □

Proposition 3.9 (左分母集合による局所化の構成 1)環 R と R の左分母集合 S に対して，集合 S × R 上の関係 ∼ を

(s_{1}, r_{1}) ∼ (s_{2}, r_{2}) ⟺ ∃a_{1}, a_{2} ∈ R [a_{1}s_{1} = a_{2}s_{2} ∈ S, a_{1}r_{1} = a_{2}r_{2}]

と定めると，これは同値関係である．

Proof) 反射律と対称律とは明白．推移律について， (s_{1}, r_{1}) ∼ (s_{2}, r_{2}), (s_{2}, r_{2}) ∼ (s_{3}, r_{3}) を任意に取ると，

a_{1}s_{1} = a_{2}s_{2}, a_{1}r_{1} = a_{2}r_{2},
b_{2}a_{2} = b_{3}a_{3}, b_{2}r_{2} = b_{3}r_{3}

なる a_{1}, a_{2}, b_{2}, b_{3} ∈ R が取れる． S が left permutable set であることに注意して， Ra_{2}s_{2} ∩ Sb_{2}s_{2} ≠ ∅ より ra_{2}s_{2} = tb_{2}s_{2} なる r ∈ R, t ∈ S を取ると，

ra_{1}s_{1} = ra_{1}s_{2} = tb_{2}s_{2} = tb_{3}s_{3},
ra_{1}r_{1} = ra_{2}r_{2} = tb_{2}r_{2} = tb_{3}r_{3}

が成立しているので， (s_{1}, r_{1}) ∼ (s_{3}, r_{3}) が得られる． □

Notation 3.10 環 R と R の左分母集合 S とを与えたとき，先の命題で定義した同値関係 ∼ による商集合を，_{S}R = S × R/∼ と書く．また，_{S}R の元を s\r = [(s, r)] と書く．

Proposition 3.11 (左分母集合による局所化の構成 2)環 R と R の左分母集合 S とを与えたとき，_{S}R 上の対応を

\begin{aligned}¯+: & _{S}R ×_{S} R & ⟶ & _{S}R \\ & (s_{1}\r_{1}, s_{2}\r_{2}) & ⟼ & a_{1}s\(a_{1}r_{1} + a_{2}r_{2}) \end{aligned}

と定める．但し， a_{1}, a_{2} は S が left permutable set であることより a_{1}r_{1} = a_{2}r_{2} を満たすものを取る．このとき， ¯+ は写像であり，_{S}R は ¯+ を演算とし， 1\0 を単位元とする群をなす．

Proof) ¯+ の well-defined について，先ず a_{1}, a_{2} ∈ S の取り方に依らないことを示す． a_{1}s_{1} = a_{2}s_{2}, b_{1}s_{1} = b_{2}s_{2} を満たす a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} ∈ R を任意に取る． S が left permutable set であることより qa_{1}s_{1} = tb_{1}s_{1} なる q ∈ R, t ∈ S が取れる． S が left reversible set であることと a_{i}, b_{i} の取り方とから uqa_{1} = utb_{1} = uqa_{2} = utb_{2} なる u ∈ S が取れて， uq(a_{1}r_{1} + a_{2}r_{2}) = uqa_{1}r_{1} + uqa_{2}r_{2} = utb_{1}r_{1} + utb_{2}r_{2} = ut(b_{1}r_{1} + n_{2}r_{2}), uq(a_{1}s_{1}) = ut(b_{1}s_{1}) が成立しているため， a_{1}s_{1}\(a_{1}r_{1} + a_{2}r_{2}) = b_{1}s_{1}\(b_{1}r_{1} + b_{2}r_{2}) が得られるのでよい．次に s_{1}\r_{1} の代表元の取り方に依らないことを示す． s_{1}\r_{1} = s′_{1}\r′_{1} を任意に取ると， ar_{1} = a′r′_{1}, as_{1} = a′s′_{1} なる S の元 a, a′ が取れる． b_{1}s_{1} = b_{2}s_{2}, b′_{1}s′_{1} = b′_{2}s_{2} なる S の元 b_{1}, b_{2}, b′_{1}, b′_{2} を取ると，

s_{1}\r_{1} ¯+s_{2}\r_{2} = b_{1}s_{1}\(b_{1}r_{1} + b_{2}r_{2}),
s′_{1}\r′_{1} ¯+s_{2}\r_{2} = b′_{1}s′_{1}\(b′_{1}r′_{1} + b′_{2}r_{2})

と計算されるので， b_{1}s_{1}\(b_{1}r_{1} + b_{2}r_{2}) = b′_{1}s′_{1}\(b′_{1}r′_{1} + b′_{2}r_{2}) を示せばよい． S の元 as_{1}, b_{1}s_{1}, b′_{1}s′_{1} に対して，補題より cas_{1} = c_{1}b_{1}s_{1} = c′_{1}b′_{1}s′_{1} なる R の元 c, c_{1}, c′_{1} が取れる，次の三式 cas_{1} = c_{1}b_{1}s_{1}, ca′s′_{1} = cas_{1} = c′_{1}b′_{1}s′_{1}, c_{1}b_{2}s_{2} = c_{1}b_{1}s_{1} = c′_{1}b′_{1}s′_{1} = c′_{1}b′_{2}s_{2} に対して補題を適用すると tca = tc_{1}b_{1}, tca′ −tc′_{1}b′_{1}, tc_{1}b_{2} = tc′_{1}b′_{2} なる S の元 t が取れて，

tc_{1}(b_{1}r_{1} + b_{2}r_{2}) = tc_{1}b_{1}r_{1} + tc_{1}b_{2}r_{2}
= tcar_{1} + tc′_{1}b′_{2}r_{2}
= tca′r′_{1} + tc′_{1}b′_{2}r_{2}
= tc′_{1}b′_{1}r′_{1} + tc′_{1}b′_{2}r_{2}
= tc′_{1}(b′_{1}r′_{1} + b′_{2}r2),
tc_{1}b_{1}s_{1} = tcas_{1}
= tca′s′_{1}
= tc′_{1}b′_{1}s′_{1}

が得られるのでよい．最後に s′_{1}\r′_{1} の代表元の取り方に依らないことを示せばよいが，これは先の s_{1}\r_{1} と全く同様に示されるので省略する．三つ組 (_{S}R, ¯+, 1\0) が群であることについて，先ず結合律を示す． s_{1}\r_{1}, s_{2}\r_{2}, s_{3}\r_{3} を任意に取ると，補題より a_{1}s_{1} = a_{2}s_{2} = a_{3}s_{3} なる S の元 a_{1}, a_{2}, a_{3} が取れて，

(s_{1}\r_{1} ¯+s_{2}\r_{2}) ¯+s_{3}\r_{3} = (a_{1}s_{1}\a_{1}r_{1} ¯+a_{2}s_{2}\a_{2}r_{2}) ¯+a_{3}s_{3}\a_{3}r_{3}
= a_{1}s_{1}\(a_{1}r_{1} + r_{2}s_{2} + r_{3}s_{3})
= a_{1}s_{1}\a_{1}r_{1} ¯+(a_{2}s_{2}\a_{2}r_{2} ¯+a_{3}s_{3}\a_{3}r_{3})
= s_{1}\r_{1} ¯+(s_{2}\r_{2} ¯+s_{3}\r_{3})

と計算されるのでよい． 1\0 が単位元であることについて， s\r を任意に取ると， s\r ¯+1\0 = s\r ¯+s\0 = s\r であり， 1\0 ¯+s\r = s\0 ¯+s\r = s\r であるのでよい．逆元の存在について， s\r を任意に取ると， s\r ¯+s\(−r) = s\(r − r) = 1\0 であり， s\(−r) ¯+s\r = s\(−r + r) = 1\0 であるのでよい． □

Proposition 3.12 (左分母集合による局所化の構成 3)環 R と R の左分母集合 S とに対して，_{S}R 上の対応を

\begin{aligned}¯×: & _{S}R ×_{S} R & ⟶ & _{S}R \\ & (s_{1}\r_{1}, s_{2}\r_{2}) & ⟼ & a_{2}s_{2}\a_{1}s_{1} \end{aligned}

と定める．但し， a_{1}, a_{2} は S が left permutable set であることより a_{1}s_{1} = a_{2}r_{2} を満たすものを取る．このとき， ¯× は写像であり，_{S}R は ¯× を演算とし， 1\1 を単位元とするモノイドをなす．

Proof) ¯× の well-defined について，先ず S × R の元 (a_{1}, a_{2}) の取り方に依らないことを示す． a_{1}r_{1} = a_{2}r_{2}, a′_{1}r_{1}a′_{2}s_{2} を満たす S の元 a_{1}, a′_{1} と R の元 a_{2}, a′_{2} とを任意に取る． S が left permutable set であることより b_{1}a_{1} = b′_{1}a′_{1} を満たす R の元 b_{1}, b′_{1} が取れて， b_{1}a_{2}s_{2} = b_{1}a_{1}r_{1} = b′_{1}a′_{1}r_{1} = b′_{1}a′_{2}s_{2} が成立しているので， S が left reversible set であることに注意すると tb_{1}a_{2} = tb′_{1}a′_{2} を満たす S の元 t が取れる．このとき tb_{1}a_{1}s_{1} = tb′_{1}a′_{1}s_{1}, tb_{1}a_{2}s_{2} = tb′_{1}a′_{2}s_{2} が得られるのでよい．次に s_{1}\r_{1} の代表元の取り方に依らないことを示す． s_{1}\r_{1} = s_{2}\r_{2} なる S の元 s_{1}, s_{2} と R の元 r_{1}, r_{2} とを任意に取る．このとき r_{3}r_{1} = r_{4}r_{2}, r_{3}s_{1} = r_{4}s_{2} であるような R の元 r_{3}, r_{4} が取れるので， as_{1} ∈ S でるような R の任意の元 a に対して as\ar ¯×s′\r′ = s\r ¯×s′\r′ を示せば十分．実際，

s_{1}\r_{1} ¯×s′\r′ = r_{3}s_{1}\r_{3}r_{1} ¯×s′\r′
= r_{4}s_{2}\r_{4}r_{2} ¯×s′\r′
= s_{2}\r_{2} ¯×s′\r′

と計算されるのでよい． as_{1} ∈ S であるような R の任意の元 a を任意に取るとき， S が left permutable set であることより tar = qs′, t′r = q′s′ なる S の元 t, t′ と R の元 q, q′ とが取れるので，

as\ar ¯×s′\r′ = tas\qr′,
s\r ¯×s′\r′ = t′s\q′r′

と計算される．右辺が一致することを示せばよい． S が left permutable set であることに注意すると， (t′, a) ∈ S × R に対して ua = pt′ なる S × R の元 (u, p) が取れて， (u, t) ∈ S × R に対して vt = ou なる S × R の元 (v, o) が取れる．このとき vqs′ = vtar = ouar = opt′r = opq′s′ が成立しているので，補題より wvq = wopq′ なる S の元 w が取れて， wvtas = wouas = wopt′s, wvqr′ = qopq′r′ よりよい．最後に s_{2}\r_{2} の代表元の取り方に依らないことを示せばよいが，これは先の s_{1}\r_{1} と全く同様に示されるので省略する．三つ組 (_{S}R, ¯×, 1\1) がモノイドであることについて，先ず結合律を示す．_{S}R の元 s_{1}\r_{1}, s_{2}\r_{2}, s_{3}\r_{3} を任意に取ると， S が left permutable set であることより， tr_{1} = qs_{2} なる S × R の元 (t, q) と， uqr_{2} = ps_{3} なる S × R の元 (u, p) とが取れる．このとき，

(s_{1}\r_{1} ¯×s_{2}\r_{2}) ¯×s_{3}\r_{3} = (uts_{1}\utr_{1} ¯×uqs_{2}\uqr_{2}) ¯×ps_{3}\pr_{3}
= uts_{1}\uqr_{2} ¯×ps_{3}\pr_{3}
= uts_{1}\pr_{3}
= uts_{1}\utr_{1} ¯×uqs_{2}\pr_{3})
= uts_{1}\utr_{1} ¯×(uqs_{2}\uqr_{2} ¯×ps_{3}\pr_{3})
= s_{1}\r_{1} ¯×(s_{2}\r_{2} ¯×s_{3}\r_{3})

と計算されるのでよい． 1\1 が単位元であることについて，_{S}R の元 s\r を任意に取ると，

s\r ¯×1\1 = s\r ¯×r\r = s\r
1\1 ¯×s\r = s\s ¯×s\r = s\r

よりよい． □

Proposition 3.13 (左分母集合による局所化の構成 4)環 R と R の左分母集合 S とに対して，五つ組 (_{S}R, ¯+, 1\0, ¯×, 1\1) は環であり，写像 f: R ⟶_{S} R を

\begin{aligned}f: & R & ⟶ & _{S}R \\ & r & ⟼ & 1\r \end{aligned}

と定めると，組 (_{S}R, f) は R の S による局所化である．更に， Ker f = {r ∈ R | ∃s ∈ S [sr = 0]} である．

Proof) (_{S}R, ¯+, 1\0, ¯×, 1\1) が環であり，環 R の S による局所化の普遍性を満たしてることを示せば十分． (_{S}R, ¯+, 1\0, ¯×, 1\1) が環であることについて，これは分配律を示せばよい．_{S}R の元 s_{1}\r_{1}, s_{2}\r_{2}, s_{3}\r_{3} を任意に取ると，

s_{1}\r_{1} ¯×s_{3}\r_{3} ¯+s_{2}\r_{2} ¯×s_{3}\r_{3} = a_{1}s_{1}\a_{2}r_{3} ¯+b_{1}s_{2}\b_{2}r_{3}

(但し, a_{1}, b_{1} ∈ S, a_{2}, b_{2} ∈ R でありa_{1}r_{1} = a_{2}s_{2}, b_{1}r_{2} = b_{2}s_{3}を満たす) = c_{1}a_{1}s_{1}\(c_{1}a_{2}r_{3} + c_{2}b_{2}r_{3}) (但し, c_{1} ∈ S, c_{2} ∈ R でありc_{1}a_{1}s_{1} = c_{2}b_{1}s_{2}を満たす) = c_{1}a_{1}s_{1}\(c_{1}a_{2} + c_{2}b_{2})r_{3} = c_{1}a_{1}s_{1}\(c_{1}a_{2} + c_{2}b_{2})s_{3} ¯×s_{3}\r_{3} = (c_{1}a_{1}s_{1}\c_{1}a_{2}s_{3} ¯+c_{1}a_{1}s_{1}\c_{2}b_{2}s_{3}) ¯×s_{3}\r_{3} = (c_{1}a_{1}s_{1}\c_{1}a_{1}r_{1} ¯+c_{2}b_{1}s_{2}\c_{2}b_{1}r_{2}) ¯×s_{3}\r_{3} = (s_{1}\r_{1} ¯+s_{2}\r_{2}) ¯×s_{3}\r_{3},

s_{1}\r_{1} ¯×s_{3}\r_{3} ¯+s_{2}\r_{2} ¯×s_{3}\r_{3} = a_{1}s_{1}\a_{1}r_{1} ¯×s_{3}\r_{3} ¯+a_{2}s_{2}\a_{2}r_{2} ¯×s_{3}\r_{3}

(但し, a_{1} ∈ R, a_{2} ∈ S でありa_{1}s_{1} = a_{2}s_{2}を満たす) = c_{1}a_{1}s_{1}\c_{2}r_{3} ¯+d_{1}a_{2}s_{2}\d_{2}r_{3} (但し, c_{1}, d_{1} ∈ S, c_{2}, d_{2} ∈ R でありc_{1}a_{1}r_{1} = c_{2}s_{3}, d_{1}a_{2}r_{2} = d_{2}s_{3}を満たす) = e_{1}c_{1}a_{1}s_{1}\(e_{1}c_{2}r_{3} + e_{2}d_{2}r_{3}) (但し, e_{1} ∈ R, e_{2} ∈ S でありe_{1}c_{1}a_{1}s_{1} = e_{2}d_{1}a_{2}s_{2}を満たす) = e_{1}c_{1}a_{1}s_{1}\(e_{1}c_{2} + e_{2}d_{2})r_{3} = e_{1}c_{1}a_{1}s_{1}\(e_{1}c_{2} + e_{2}d_{2})s_{3} ¯×s_{3}\r_{3} = (e_{1}c_{1}a_{1}s_{1}\e_{1}c_{2}s_{3} ¯+e_{1}c_{1}a_{1}s_{1}\e_{2}d_{2}s_{3}) ¯×s_{3}\r_{3} = (e_{1}c_{1}a_{1}s_{1}\e_{1}c_{1}a_{1}r_{1} ¯+e_{2}d_{1}a_{2}s_{2}\e_{2}d_{1}a_{2}r_{2}) ¯×s_{3}\r_{3} = (s_{1}\r_{1} ¯+s_{2}\r_{2}) ¯×s_{3}\r_{3}

と計算されるのでよい．次に組 (_{S}R, f) が R の S による局所化であることについて示す．環 P と環準同型写像 g: R ⟶ P との組を任意に取る．対応 h: _{S}R → P を

\begin{aligned}g: & _{S}R & ⟶ & P \\ & s\r & ⟼ & g(s)^{−1}g(r) \end{aligned}

と定めると，これは写像である．実際，_{S}R の元 s\r = s′\r′ を任意に取ると， a_{1}s = a_{2}s′, a_{1}r = a_{2}r′ なる R の元 a_{1}, a_{2} が取れて，

g(s)^{−1}g(r) = g(a_{1}s)^{−1}g(a_{1}s)g(s)^{−1}g(r)
= g(a_{1}s)^{−1}g(a_{1})g(s)g(s)^{−1}g(r)
= g(a_{1}s)^{−1}g(a_{1})g(r)
= g(a_{1}s)^{−1}g(a_{1}r)
= g(a_{2}s′)^{−1}g(a_{2}r′)
= g(a_{2}s′)^{−1}g(a_{2})g(r′)
= g(a_{2}s′)^{−1}g(a_{2})g(s′)g(s′)^{−1}g(r′)
= g(a_{2}s′)^{−1}g(a_{2}s′)g(s′)^{−1}g(r′)
= g(s′)^{−1}g(r′)

と計算されるのでよい．準同型性と可換性とについては明白である．以上で組 (_{S}R, f) が R の S による局所化であることが示された． Ker f については定義より明白である． □ Notation 3.14 環 R の左分母集合 S による局所化を_{S}R と書く．

3.3 左商環

この章の残りの部分では，環 R の正則元全体 R^{∘} による局所化について調べる．この節では， R^{∘} が左分母集合であるような環のクラスとして左 Ore 環を定義し，可換でない環の局所化の例を見る．

Definition 3.15 (左商環，右商環，商環) 環 Q と環準同型 f: R → Q との組 (Q, f) が環 R の左商環であるとは，

(LQ1) f は単射である． (LQ2) Q の任意の元 q に対して， q = f(s)^{−1}f(r) であるような R^{∘} × R の元 (s, r) が存在する． (LQ3) R^{∘} の任意の元 s に対して， f(s) は可逆元である．

を満たすことである．右商環も同様に定義される．また，左商環と右商環とが存在し一致するとき，商環という．

環 R の左商環 (Q, f) が存在するとき， R ≅ f[R] が成立することから，しばしばこれを同一視する．

Proposition 3.16 環 R が左商環を持つとき， R^{∘} は left permutable set である．

Proof) 明白である． □

Proposition 3.17 環 R について，左商環 Q_{l} と右商環 Q_{r} とが共に存在するとき， Q_{l} = Q_{r} である．

Proof) それぞれ包含を示せばよい． Q_{l} ⊂ Q_{r} について， Q_{l} の元 q を任意にとると， q = s^{−1}r なる R^{∘} × R の元 (s, r) が取れる．いま R^{∘} は right permutable set より， sr′ = rs′ なる R^{∘} × R の元 (s′, r′) が取れる．このとき， q = s^{−1}r = r′s^{′−1} ∈ Q_{r} であるのでよい． Q_{r} ⊂ Q_{l} についても全く同様である． □

Definition 3.18 (左 Ore 環) 環 R が左 Ore 環であるとは， R^{∘} が left permutable set であることである．

R^{∘} が left permutable set であるという条件を左 Ore 条件ともいう．

Proposition 3.19 (左 Ore 環の正則元全体が左分母集合であること)左 Ore 環 R について， R^{∘} は左分母集合である．

Proof) R^{∘} が left reversible set であることを示せばよい． rs = 0 なる R^{∘} × R の元 (s, r) を任意に取るとき， R^{∘} の元が正則であることに注意すると r = 0 が従い， sr = 0 が得られる． □

以上より，左 Ore 環は左商環を持つことが分った．歴史的には最初に左 Ore 整域が左商体を持つことが Ore により示され，後に左分母集合による局所化へ一般化された．

Example 3.20 (非可換環の局所化の例 1)環 R が全行列環 R = (ℤ)_{2} のとき，

R^{∘} = \{[ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] | (a ≠ 0 ∧ d ≠ 0) ∨ (b ≠ 0 ∧ c ≠ 0)\}

と計算され，これが左 Ore 条件を満たすことは容易に示される．以て左商環が存在し，具体的に計算することで_{R^{∘}}R = (ℚ)_{2} が分る．一般に， R = (ℤ)_{n} に対して左商環が存在し，_{R^{∘}}R = (ℚ)_{n} である．

3.4 基本的な定義と性質

一つ前の節では，環 R が左 Ore 環であることと左商環をもつこととの同値性を示したが，左 Ore 条件は環 R の元に関する性質であり，詳しく調べられるような簡単な環でなければ判定は難しい．そのため，左 Ore 環の十分条件が分かると嬉しいが，その十分条件の一つに Goldie の定理がある．この節では，その準備として可換環では潰れてしまっていた基本的な概念の定義と性質とについて調べる．

Definition 3.21 (冪零左イデアル) 環 R の左イデアル I について， I^{n} = {0} なる自然数 n が存在するとき， I を冪零左イデアルという．

Definition 3.22 (環について) 環 R とその部分集合 I, J とについて，

(1) R が素環であるとは， IJ = {0} なる R の任意の両側イデアル I, J について， I = {0} または J = {0} が成立することである．

(2) R が整域であるとは， ab = 0 なる R の任意の元 a, b について， a = 0 または b = 0 が成立することである．

(3) I が素イデアルであるとは， I が両側イデアルであり，剰余環 R/I が素環であることである．

(4) I が完全素イデアルであるとは， I は両側イデアルであり，剰余環 R/I が整域であることである．

(5) R が半素環であるとは， ⋂ Spec(R) = {0} が成立することである．但し Spec(R) = {P | P は素イデアル} とする.

(6) R が左ネーター環であるとは，左イデアル全体が極大条件^{*6}を満たすことである．

いま環のクラスを三つ定義したが，それぞれ特徴付けを行った後，これらの関係を見る．

Proposition 3.23 (素環の特徴付け) 環 R について次は同値である．

(1) R は素環である．

(2) KL = {0} なる R の任意の左イデアル K, L について， K = {0} または L = {0} が成立する．

(3) aRb = {0} なる R の任意の元 a, b について， a = 0 または b = 0 が成立する．

Proof) (2) ⟹ (1) は明白である． (1) ⟹ (3) について， aRb = {0} なる R の元 a, b を任意に取る． (RaR)(RbR) = R(aRb)R = R0R = 0 より RaR = {0} または RbR = {0} が従うが， a ∈ RaR, b ∈ RbR に注意すれば a = 0, b = 0 が得られる．

(3) ⟹ (2) について，左イデアル K, L であって L ≠ {0}, KL = {0} なるものを任意に取る． L ≠ {0} より 0 でない元 b ∈ L が取れる． a ∈ K を任意に取ると， a ∈ aRb ⊂ aL ⊂ KL = {0} より a = 0 が従う．以て K = {0} を得る． □

Proposition 3.24 (半素環の特徴付け)環 R について次は同値である． (1) R は半素環である．

*6 部分集合系 𝒳 が極大条件を満たすとは， 𝒳 に包含関係による順序をいれたとき，任意の昇鎖が有限長であることである．同様

に極小条件を満たすとは，任意の降鎖が有限長であることである．

(2) I が冪零左イデアルならば， I = {0} が成立する．

(3) aRa = {0} なる R の元 a について， a = 0 が成立する．

Proof) (1) ⟹ (2) について，左冪零イデアル I と素イデアル P を任意に取り， I ⊂ P を示せば， I ⊂ ⋂ Spec(R) = {0} より I = {0} が得られる．以て a ∈ I を任意にとり， aRa = {0} を示せば十分． c ∈ R を任意にとる． (ca)^{n} = 0 より十分大きい自然数 k に対して (ca)^{2^{k+1}−1} = 0 である．ここで R が素環であることに留意すると， 0 = a(ca)^{2^{k+1}−1} = (a(ca)^{2^{k}−1})c(a(ca)^{2^{k}−1}) より a(ca)^{2^{k}−1} = 0 が従い，帰納的に aca = 0 が得られる．即ち a = 0 ∈ P が従い， I ⊂ P を得る．

(2) ⟹ (3) について， aRa = {0} なる R の元 a を任意に取る． (Ra)(Ra) = R(aRa) = R{0} = {0} より Ra は冪零左イデアルであり， a ∈ Ra = {0} である．即ち a = 0 である．

(3) ⟹ (1) について，背理法で示す． ⋂ Spec(R) ≠ {0} と仮定すると， a_{0} ≠ 0 なる a_{0} ∈ ⋂ Spec(R) が取れて， a_{0}Ra_{0} ≠ {0} である．帰納的に a_{i} ≠ 0 かつ a_{i+1} ∈ a_{i}Ra_{i} なる R の元 a_{i} が取れる．ここで a_{i} ∉ I なる両側イデアル全体を ℱ とおくと，これは帰納的集合なので極大元 I_{max} が取れて，特に a_{i} ∉ I_{max} が成立している．他方， a_{0} ∈ ⋂ Spec(R) かつ a ∉ I_{max} より I_{max} は素イデアルでなく， I_{max} を真に含む両側イデアル A, B で AB ⊂ I_{max} なるものが取れる． I_{max} の極大性より a_{i} ∈ A, a_{j} ∈ B なる自然数 i < j が取れて， a_{i} ∈ A ∩ B が従う．このとき a_{i+1} ∈ a_{i}Ra_{i} ⊂ AB ⊂ I となり矛盾． □

Proposition 3.25 (整域，素環，半素環の関係) 環 R について次が成立する．

(1) 整域 ⟹ 素環 ⟹ 半素環．

(2) R が可換環ならば，整域 ⟺ 素環．特に素イデアル ⟺ 完全素イデアル．

Proof) (1) についてそれぞれ定義と特徴付けより明白． (2) について ab = 0 なる可換素環 R の元 a, b を任意に取ると， R の任意の元 c に対して acb = cab = 0 が成立することから， aRb = {0} が従うので， a = 0 または b = 0 が得られる． □

Definition 3.26 (単純左加群) 環 R 上の左加群 M について， M が単純であるとは， M の任意の部分左加群 N について， N = M または N = {0} が成立することである．

Definition 3.27 (半単純左加群) 環 R 上の左加群 M について， M が半単純であるとは， M の任意の部分左加群 N が直和因子であることである．

Remark 3.28 環 R が単純であるとは左 R 加群として単純であることである．半単純環も同様に定義する．

以下の二つの命題は紹介に留め，証明を省略する．

Proposition 3.29 (単純アルティン環，単純環，素環の関係) 環 R について次が成立する．

(1) 単純アルティン環 ⟹ 単純環 ⟹ 素環．

(2) R が可換環ならば，単純アルティン環 ⟺ 単純環．

(3) R がアルティン環ならば，単純環 ⟺ 素環．

Proposition 3.30 (単純アルティン環，半単純環，半素環の関係) 環 R について次が成立する． (1) 単純アルティン環 ⟹ 半単純環 ⟹ 半素環．

(2) R がアルティン環ならば，半単純環 ⟺ 半素環．

Proposition 3.31 (半単純左加群の性質)環 R 上の左半単純左加群 M について， M の極小部分左加群全体を Min(M) と書くとき， M = Σ_{N∈Min(M)}N が成立する^{*7}．

Proof) L = Σ_{N∈Min(M)}N とおく． L は半単純左加群 M の部分左加群なので直和因子であり， M = L⊕L′ なる部分左加群 L′ が取れる． x ∈ L′ を任意に取り Rx = {rx ∈ M | r ∈ R} とおくと，これは M の部分左加群である．その極大部分左加群 K は M の部分左加群でもあるので， M = K ⊕ K′ と直和分解し， K ⊕ Rx/K ≅ Rx = Rx ∩ M = Rx ∩ (K ⊕ K′) = K ⊕ (Rx ∩ K′) と計算されるので， Rx/K ≅ Rx ∩ K′ が得られる． K の取り方から Rx/K は単純であり， Rx ∩ K′ は M の極小部分左加群である．即ち Rx ∩ K′ ⊂ L なので， x ∈ Rx ∩ K′ ⊂ L ∩ L′ = {0} であり， L′ = {0} が従う．以上より M = L が得られた． □

Proposition 3.32 (Levitzki) 左ネーター環 R の右イデアルあるいは左イデアル I について， I の任意の元が冪零元であるならば， I は冪零左イデアルである．

Proof) N = ⋂ Spec(R), R̄ = R/N とおくとき， R̄ は半素左ネーター環である． I の元が冪零であることより， (I + N)/N の元 a + N は冪零である．以て半素左ネーター環で命題が成立していれば十分である．実際， (I + N)/N = {0} より I ⊂ N が従い， N は冪零なので I も冪零である． I が右イデアルのとき， I = {0} ならよい． I ≠ {0} と仮定する． ℱ = {l_{R}(x) | x ∈ K {0}} とおくと，これは左ネーター環 R の左イデアルからなる集合なので極大条件を満たす．極大元 l_{R}(x), x ∈ R を一つ取る． R が半素環であることに注意すると xRx ≠ {0} が従うので， xyx ≠ 0 なる y ∈ R が取れる．他方， xy ∈ I より (xy)^{m−1} ≠ 0, (xy)^{m} = 0 なる自然数 m が取れるので l_{R}(x) ⊂ l_{R}((xy)^{m−1}) であるが， l_{R}(x) の極大性よりこれは一致して xy ∈ l_{R}((xy)^{m−1}) = l_{R}(x) が従う．即ち xyx = 0 が得られる．これは矛盾． I が左イデアルのとき， a ∈ I と x ∈ R に対して， (xa)^{n} = 0 なる自然数 n が取れる．以て (ax)^{n+1} = a(xa)^{n}x = 0 が従うので，右イデアル aR について， a ∈ aR = {0} が得られる．即ち I = {0} であるのでよい． □

この命題が一般に非自明なのは，各元を 0 にするのに必要な指数が有界とは限らないことと，非可換環に於ける冪零元の積が冪零とは限らないこととが主な理由である．実際，次の予想は未解決である．

Conjecture 3.33 (Köthe) 環 R について，任意の元が冪零元であるような {0} でない両側イデアル I が存在しないならば，任意の元が冪零元であるような {0} でない片側イデアル I は存在しない．

Levitzki の定理は，左ネーター環に於いて Köthe 予想の成立を肯定するものである．

3.5 Goldie の定理

この節では Goldie の定理を証明を与える．先ず主張を述べると次の通りである．

Theorem 3.34 (Goldie) 半素左ネーター環 R は左商環 Q をもち， Q は半単純環である．この証明にあたっては本質左イデアルが本質的な役割を果たすため，これを導入する．

*7 実は逆も成立する．

Definition 3.35 (本質部分左加群) 環 R 上の左加群 M に対して，その部分左加群 N が本質的であるとは， M の任意の {0} でない部分左加群 L について， N ∩ L = ∅ が成立することである．

Remark 3.36 環 R 上の左イデアル I が本質的であるとは，環 R を左 R 加群と見做したとき， I が本質的であることである．

Proposition 3.37 環 R 上の左加群 M と部分左加群 N とに対して， N が本質的ならば R の任意の元 x について (x : N) は本質的である．但し (x : N) = {r ∈ R | rx ∈ N} である．

Proof) M の部分左加群 L を任意に取る． N は本質的なので L ∩ N の元 r が取れて， rx ∈ N ∩ L が従う．以て r は (x : N) ∩ L の元であり， (x : N) は本質的である． □

Proposition 3.38 (補部分左加群の存在)環 R 上の左加群 M が与えられたとき，部分左加群 N に対して N ∩ K = {0} を満たし N ⊕ K が M の本質部分左加群になるような M の部分左加群 K が存在する．

Proof) M の部分左加群であって N と交わらないようなもの全体のなす集合 ℱ を考える． ℱ の極大元 K が存在すれば， N + K は直和であり， M の本質部分左加群である．実際， L ∩ (N + K) = {0} なる M の部分左加群 L を任意に取ると，モジュラー則より N ∩ (K + L) = L ∩ (N + K) = {0} が成立している． K の極大性から L = {0} であるので，本質的であることが分かる．以て ℱ が帰納的集合であることを示せば十分である． ℱ の昇鎖 ℱ′ を任意に取ると， ⋃ ℱ′ は M の部分左加群であり， N ∩ (⋃ ℱ′) = ⋂_{X∈ℱ′} (N ∩ X) = {0} が成立するので， ⋃ ℱ′ は昇鎖 ℱ′ の上界を与えている． □

Remark 3.39 この命題で存在が示された部分左加群 K を， M に於ける N の補部分左加群という．

以下，半素左ネーター環 R の性質について調べるが，左イデアル I について，本質的であることと正則元をもつこととが同値であることが重要である．これより半素左ネーター環 R が左商環 Q をもつならば Q は半単純環であることが分かる．また，左商環の存在は左 Ore 条件を満たすことを示せばよいが，それを示す上でも本質イデアルと正則元との関係が重要な役割を果たす．

Definition 3.40 (左零化イデアル) 環 R の左イデアル L が左零化イデアルであるとは， l_{R}(X) = L なる R の部分集合 X が存在することである．

Proposition 3.41 (左零化イデアルの基本的な性質)環 R と左零化イデアル L とに対して次が成立する．

(1) l_{R}(r_{R}(L)) = L が成立する．

(2) 環 R が左ネーターならば， R 上の右零化イデアル全体は極小条件を満たす．

Proof) (1) は明白である． (2) について右零化イデアルの降鎖 (K_{n})_{n∈ℤ_{>0}} を任意に取る． (l_{R}(K_{n}))_{n∈ℤ_{>0}} は左イデアルの昇鎖であり， R は左ネーター環より N < m ならば l_{R}(K_{N}) = l_{R}(K^{m}) であるような自然数 N が取れる．ここで r_{R}(l_{R}(K_{n})) = K_{n} に注意すると N < m ならば K_{N} = K_{m} である．これは右零化イデアル全体の集合が帰納的であることを意味しており， Zorn の補題より極小条件を満たす． □ Proposition 3.42 (左ネーター環の性質)左ネーター環 R の元 a について，Ra^{N} ∩l_{R}(a^{N}) = Ra^{N} ∩l_{R}(a) = {0} なる自然数 N が存在する．

Proof) R は左ネーター環より，左イデアルの昇鎖 (l_{R}(a^{n}))_{n∈ℤ_{>0}} に対して N < m ならば l_{R}(a^{N}) = l_{R}(a^{m}) であるような自然数 N が取れる． Ra^{N} ∩ l_{R}(a^{N}) の元 x に対して x = ra^{N} なる r の元 R が取れて， ra^{2}N = xa^{N} = 0 より r ∈ l_{R}(a^{2N}) = l_{R}(a^{N}) が成立しているので， x = ra^{N} = 0 が従う．よって Ra^{N} ∩ l_{R}(a^{N}) = {0} を得る． Ra^{N} ∩ l_{R}(a) = {0} についても l_{R}(a) ⊂ l_{R}(a^{N}) より直ちに従う． □

些か技巧的だが，次の補題は有用である．

Lemma 3.43 半素左ネーター環 R 上の左イデアル K, L について， K ⊆ L かつ r_{R}(K) ≠ r_{R}(L) ならば， Lz ≠ {0} かつ Lz ∩ K = {0} が成立するような L の元 z が存在する．

Proof) 次で定義される右零化イデアルの集合

ℱ = {r_{R}(X) | r_{R}(L) ⊊ r_{R}(X) ⊂ r_{R}(K), X ⊂ R}

について，これは r_{R}(K) ≠ r_{R}(L) より空でないので極小元 U = r_{R}(X) が取れる． R が半素環であることに注意すると，冪零イデアルは自明なものに限るので LU ≠ {0} より LULU ≠ {0} が得られる．ここで LuaU ≠ {0} であるような UL の元 ua を一つ取る． ua が求める元であることを示す． L は左イデアルより ua ∈ L であり， Lua ≠ {0} である． Lua ∩ K ≠ {0} と仮定すると， 0 ≠ xua ∈ K なる L の元 x が取れて， r_{R}(x) ∩ U は ℱ の元である．実際， r_{R}(L) ⊂ r_{R}(x) ∩ U = r_{R}(x) ∩ r_{R}(X) = r_{R}({x} ∪ X) が成立していることと， xuaU ⊂ KU = {0} より uaU ⊂ r_{R}(x) ∩ U が従うこととより， LuaU ≠ {0} が得られる．即ち uaU ⊄ r_{R}(L) よりよい．ここで U の極小性から r_{R}(x) ∩ U = U が従い， U ⊂ r_{R}(x) より xU = {0} である．これは xua ≠ 0 に矛盾する． □

Proposition 3.44 半素左ネーター環 R の元 x, y について，左イデアル Rx, Ry が本質的ならば， Rxy も本質的である．

Proof) R の {0} でない左イデアル L を任意に取ると， l_{R}(y) ⊊ (y : L) が成立する．実際， l_{R}(y) ⊂ (y : L) は明白であるので l_{R}(y) ≠ (y : L) を示せばよい． (y : L)y = Ry ∩ L より Ry が本質左イデアルであることに留意すると (y : L)y ≠ {0} が従い， y ∉ r_{R}((y : L)) が得られるが，一方 y ∈ r_{R}(l_{R}(y)) が成立しているのでよい．ここで補題より， (y : L)z ≠ {0}, (y : L) ∩ l_{R}(y) = {0} なる (y : L) の元 z が取れる． K = (y : L)z とおくと，先と同様に Rx が本質左イデアルであることから， (x : K)x = Rx ∩ K ≠ {0} である． (x : K)x ⊂ K = (y : L)z であり， z の取り方から l_{R}((y : Z)z) ≠ {0} であるので， (x : K)xy ≠ {0} が得られる．以て， (x : K)xy ⊂ Ky = (xy : L)zy ⊂ (y : L)L ⊂ L より (x : K) ⊂ (xy : L) が従うことに留意すれば， {0} ≠ (x : K)xy ⊂ (xy : L)xy = Rxy ∩ L が得られる． □

Proposition 3.45 半素左ネーター環 R の元 c について，次は同値．

(1) Rc は本質左イデアルである．

(2) l_{R}(c) = {0}．

(3) c は R^{∘} の元である． Proof) (1) ⟺ (3) について， R は半素左ネーター環より， Rc^{n} ∩ l_{R}(c) = {0} を満たす整数 n が取れる． Rc は本質左イデアルなので R が半素左ネーター環であることより Rc^{n} が本質であることが従い， l_{R}(c) = {0} を得る． r_{R}(c) = {0} を背理法で示す． r_{R}(c) ≠ {0} と仮定すると， r_{R}(c) ≠ r_{R}(Rc) が従う．以て Rc ⊊ R と R が半素左ネーター環であることとより補題が適用できて， Rz ∩ Rc = {0} を満たす 0 でない R の元 z の存在が分る．これは Rc が本質左イデアルであることに矛盾．

(3) ⟺ (2) について，これは明白． (2) ⟺ (1) について， L ∩ Rc = {0} なる左イデアル L を任意に取る． L = {0} を示せばよく， ∑_{n=0}^{m} Lc^{n} が直和であることに帰着される．これは明白． □

Proposition 3.46 半素左ネーター環 R と左イデアル L とについて次は同値．

(1) L は本質左イデアルである．

(2) L ∩ R^{∘} ≠ ∅．

Proof) (2) ⟹ (1) について，これは明白． (1) ⟹ (2) について， L が本質左イデアルであることより {0} でなく， R が半素左ネーター環であることに留意すれば，任意の n に対して a^{n} = 0 であるような a ∈ L が取れる．また左ネーターより Ra^{n} ∩l_{R}(a^{n}) = {0} なる n が取れ， a_{1} = a^{n} とおけば Ra_{1} +l_{R}(a_{1}) は直和である． l_{R}(a_{1}) ≠ {0} であるとき， L は本質左イデアルより l_{R}(a_{1}) ∩ L ≠ {0} であるので，全く同様に Ra_{2} + l_{R}(a_{2}) が直和であるような b ∈ l_{R}(a_{1}) ∩ L と a_{2} = b^{m} なる m とが取れる．ここで Ra_{1} + R_{2} + (l_{R}(a_{1}) ∩ l_{R}(a_{2}) ∩ L) も直和である． l_{R}(a_{1}) ∩ l_{R}(a_{2}) ≠ {0} であるとき，再帰的にこの操作を続けられる．ここで R が左ネーターであることから， {0} でない可算個の左イデアルの直和 ⨁_{i=1}^{∞} Ra_{i} は構成され得ない．以て先の操作は有限回で止まる． R が半素左ネーター環であることから，任意の n に対して ⋂_{i=1}^{n} l_{R}(a_{i}) = {0} が成立するときについて l_{R}(c) = {0} なる c の存在をいえばよく，これは c = ∑_{i=1}^{n} a_{i} が満たす．実際，直和であることに留意すれば xc = 0 から x = 0 を得られる． □

Theorem 3.47 (Goldie) 半素左ネーター環 R は左商環 Q をもち， Q は半単純環である．

Proof) 左商環の存在は左 Ore 条件を満たすことを示せばよい． (a, c) ∈ R × R^{∘} を任意に取ると，

c ∈ R^{∘} ⟺ Rc は本質的
⟺ (a : Rc) は本質的
⟺ (a : Rc) ∩ R^{∘}

が成立するので， d ∈ (a : Rc) ∩ R^{∘} を任意に取れば， da ∈ Rc ∩ R^{∘}a が成立する．以て R の左商環が存在し，これを Q とおく． Q が半単純環であることを示す． Q の本質左イデアル L を任意に取り，これが Q と一致することを示せばよい． L ∩ R について， R が本質的であることより正則元をもつ． R に於ける正則元は Q の可逆元であるので， L = Q が成立する．以上より示された． □

Example 3.48 (非可換環の局所化の例 2)体 K 上の二変数多項式環 R = K[X, Y] と加群として同型であり， K[X] の元 f を任意に取るとき yf = fx + 1 を満たすような積が定まっている K[X] 代数を Wyle 代数といい， k[X][Y; id, \frac{d}{dX}] と書く．このとき， k[X][Y, id, \frac{d}{dX}] は k[X] の Ore 拡大^{*8}であるからネーター整域であり， Goldie の定理より商体が存在する．半素性が必要であることは Small の反例より分る．これについては [6] を参照されたい．

*8 α を環 R の自己準同型と， δ を δ(ab) = α(a)δ(b) + δ(a)b, δ(1) = 0 を満たす R 上の写像とするとき，環 R[X; α, δ] が環 R の

Ore 拡大であるとは，多項式環 R[X] と加群として同型であり，積が Xr = α(a)X + δ(a) を満たしていることである． Ore 拡

大によりネーター性や整域は保たれることが知られる．

4 圏の局所化

この章では，圏や加法圏の定義およびそれらの基本的な性質を仮定し，圏の局所化について紹介する．詳細は [9] を参照されたい．加えて Intro で挙げた二つの例が共に圏の局所化に他ならないことを確認する．

4.1 局所化の存在

Definition 4.1 (積閉集合) 圏 𝒞 の射の集合 S が積閉集合であるとは，次を満たすことである．

(M1) 圏 𝒞 の任意の対象 X に対して， id_{X} ∈ S． (M2) S の任意の元 t, s について，圏 𝒞 で t ∘ s が定義されるならば， t ∘ s ∈ S．

Remark 4.2 環に於ける積閉集合と同様に，任意の射の集合から，それを含む最小の積閉集合が構成される．また積閉集合 S に対して， Ob(𝒮) = Ob(𝒞), Mor(𝒮) = S を満たす圏 𝒞 の部分圏 𝒮 が定まる．

環に於ける積閉集合と同様に，任意の射の集合からそれを含む最小の積閉集合が構成される．

Definition 4.3 𝒞 を圏と， S をその積閉集合とするとき，圏 𝒟 と函手 F: 𝒞 → 𝒟 との組が圏 𝒞 の S による局所化であるとは，次を満たすことである．

(L1) F は S を可逆にする．即ち， S の任意の元 s について， F (s) は同型射である． (L2) ℰ と S を可逆にするような函手 G: 𝒞 → ℰ との組 (ℰ , G) に対して， G と H ∘ F とが自然同型になる

ような函手 H: 𝒟 → ℰ が自然同型を除き一意に存在する．

次の局所化の存在は全く形式的に示される．概要は [9] を，証明の詳細は [10] を参照されたい．

Fact 4.4 (局所化の存在) 圏 𝒞 と， 𝒞 の積閉集合 S とに対して，圏 𝒞 の S による局所化 (𝒟, F: 𝒞 → 𝒟) が存在する．

Notation 4.5 𝒞 を圏と， S をその積閉集合とするとき，圏 𝒞 の S による局所化を (𝒞_{S}, Q_{S}) と書く．

Example 4.6 (モノイドの局所化)モノイド M に対して， Ob(ℳ) = {∗}, Mor(ℳ) = M であり，射の合成をモノイドの積で定めた圏 ℳ について考える．圏 ℳ の積閉集合 S は部分モノイドのことに他ならず，特に部分モノイド M による ℳ の局所化 ℳ_{M} は Grothendieck 群に他ならない．

4.2 計算可能性

この節では，計算可能性を定義し，環の局所化も圏の局所化の例であることを述べる．

Definition 4.7 (左局所化計算可能)圏 𝒞 の積閉集合 S が左局所化計算可能であるとは，次を満たすことである． (1) Hom_{𝒮} (X, X′) の元 s と Hom_{𝒞} (X, Y) の元 f とに対して， s′ ∘ f = f′ ∘ s を満たす s′ ∈

Hom_{𝒮} (Y, Y′), f′ ∈ Hom_{𝒞} (X′, Y′) が存在する．

(2) Hom_{𝒞} (X, Y) の元 f, g とに対して， f ∘ s = g ∘ s を満たす Hom_{𝒮} (X′, X) の元 s が存在するならば， t ∘ f = t ∘ g を満たす Hom_{𝒮} (Y, Y′) の元 t が存在する．

また双対的に右局所化計算可能も定義される．左右ともに局所化が計算可能な積閉集合を積閉系という．

Remark 4.8 左分母集合による環の局所化が具体的に構成されたのと同様に，左局所化計算可能な積閉集合による局所化は具体的に構成されるため，射の振る舞いがよく分かる点で有用である．

次の事実を認める．

Fact 4.9 (加法圏の局所化) 加法圏 𝒞 の左局所化計算可能な積閉集合 S による局所化 𝒞_{S} には，自然に加法圏の構造が入る．

Example 4.10 (環の局所化) 環 R に対して， Ob(ℛ) = {∗}, Mor(ℛ) = R であり，射の合成を環の積で定めた圏 ℛ について考える．圏 ℛ の左局所化計算可能な積閉集合 S とは，左分母集合のことに他ならない．実際，書き下してみれば，

(1) Hom_{𝒮} (∗, ∗) の元 s と Hom_{𝒞} (∗, ∗) の元 f とに対して， s′ ∘ f = f′ ∘ s を満たす s′ ∈ Hom_{𝒮} (∗, ∗), f′ ∈ Hom_{𝒞} (∗, ∗) が存在する．即ち， Sf ∩ Rs ≠ ∅．

(2) Hom_{𝒞} (∗, ∗) の元 f, g とに対して， f ∘ s = g ∘ s を満たす Hom_{𝒮} (∗, ∗) の元 s が存在するならば， t ∘ f = t ∘ g を満たす Hom_{𝒮} (∗, ∗) の元 t が存在する．即ち， (f − g)s = 0 なる S の元 s が存在するならば， t(f − g) = 0 なる S の元 t が存在する．

である．即ち，局所化 ℛ_{S} は環 R の左分母集合 S による局所化_{S}R に他ならない．

References

[1] 岩永恭雄・佐藤眞久, 環と加群のホモロジー代数的理論, 日本評論社, 2002.

[2] 谷崎俊之, 非可換環, 岩波書店, 2006．

[3] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Atiyah ‐ MacDonald 可換代数入門 (新妻弘訳), 共立出版, 2006．

[4] 松村英之, 可換環論, 共立出版, 2000．

[5] Alfred W. Goldie, Semi-prime rings with maximum condition, Proceedings of London Mathematical Society (3) 10, 1960.

[6] Lans W. Small, On some questions in Noetherian rings, Bulletin of American Mathematical Society 72, 1966.

[7] K. R. Goodearl, R. B. Warfield, Jr., An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts, 2004.

[8] J. C. McConnell, J. C. Robson, L. W. Small, Noncommutative Noetherian Rings, Graduate Studies in Mathematics, 2001.

[9] 中岡宏之, 圏論の技法―アーベル圏と三角圏でのホモロジー代数, 日本評論社, 2015． [10] Gelfand, Sergei I. , Manin, Yuri I., Methods of Homological Algebra, Springer, 2003.

Goldie の定理の証明は [1] に依った．原論文 [5] に於いて， Goldie は紹介した定理の他に，逆の問題，即ち半単純環を商環に持つような環のクラスを特徴付けている．非可換環の局所化が活きる場面は随所に見られるが，例えば代数解析に於ける Gabber の包合性定理の証明では重要な役割を演じている．これについては [2] を参照されたい．また，非可換代数は面白いことが知られるが，これについては [7] や [8] が読みやすい．