距離化可能性

B3 サクラ 2018 年 07 月 09 日

Abstract

距離構造は位相的な性質でないが，距離化可能性は位相不変な性質である．その為め，旧来より多くの人間の努力により，距離化可能性のよい十分条件や，よい必要十分条件を与える努力が為されてきた．この pdf では，記念碑的な結果である長田-Smirnov の定理を仮定^{*1}し，局所距離化可能パラコンパクトハウスドルフ空間は距離化可能であることの略証を与える．

Contents

1  主命題への準備  1
2  主命題の証明  2

1 主命題への準備

Definition 1.1 (局所距離化可能) 位相空間 (X, 𝒪) が局所距離化可能であるとは， X の任意の点 x に対して部分空間 (V, 𝒪 ∩ V) が距離化可能であるような近傍 V が存在することである． Definition 1.2 (局所有限) 位相空間 (X, 𝒪) の台 X の部分集合系 𝒜 が X で局所有限であるとは， X の任意の点 x に対して，近傍 V であって 𝒜 の元で交わるものが高々有限であるようなものが存在することである． Definition 1.3 (σ-局所有限) 位相空間 (X, 𝒪) の開基 ℬ が σ-局所有限であるとは，自然数 n で添字付けられた局所有限な開集合系 ℬ_{n} が存在し， ℬ がその和集合で書かれることである． Definition 1.4 (パラコンパクト) 位相空間 (X, 𝒪) がパラコンパクトであるとは，任意の開被覆 𝒰 に対して局所有限な開細分 𝒱 が存在することである． Fact 1.5 距離化可能な位相空間 (X, 𝒪) はパラコンパクトである． Fact 1.6 (長田-Smirnov) 位相空間 (X, 𝒪) について，次は同値である． (1) (X, 𝒪) は距離化可能である．

*1 個人的に距離化可能性は好きな概念の一つなので，後に書き足す可能性あり．

(2) (X, 𝒪) は正則ハウスドルフであり， σ-局所有限な開基をもつ．

2 主命題の証明

Proposition 2.1 位相空間 (X, 𝒪) について，次は同値である．

(1) (X, 𝒪) は距離化可能である．

(2) (X, 𝒪) は局所距離化可能パラコンパクトハウスドルフ空間である．

Proof) (1) ならば (2) は明白であるため逆を示せば十分であり，之は長田-Smirnov の距離化可能定理より σ-局所有限な開基をもつことを示せばよい．先ず X は局所距離化可能なので， X の各点 x に対して部分空間 (V_{x}, 𝒪 ∩ V_{x}) が距離化可能であるような開近傍 V_{x} が取れる．パラコンパクト性よりこの族 (V_{x})_{x∈X} に対して局所有限な開細分が取れる．即ち族 (V_{x})_{x∈S} が局所有限であるような X の部分集合 S を取る．各 x ∈ S について部分空間 (V_{x}, 𝒪 ∩ V_{x}) は距離化可能なので，この位相を定める V_{x} 上の距離関数を d_{x} とおく．

今，正の整数 m を任意に取り固定する． S の各元 x について V_{x} は X の開集合であるので V_{x} の開集合は X の開集合である．即ち， 𝒞_{m} = {B_{V_{x}}(a, 1/m) | x ∈ S ∧ a ∈ V_{x}} は X の開被覆であるので，パラコンパクト性より局所有限な開細分 𝒟_{m} が取れる．

正の整数 m の取り方は任意であったので族 (𝒟_{m})_{m∈ℤ_{>0}} が取れて，この和集合を 𝒟 とおけば之は σ-局所有限な開被覆である．この 𝒟 が開基であることを示せば証明が終わるが，これは殆ど明白である． □

この文書は公開当初誤りを多く含む未完成のものであった．箱氏 (@o ccah) の助言無くして訂正することはできなかったと思う．感謝しております．