位相空間の定義

B3 サクラ

2018 年 09 月 06 日

Abstract

位相空間論の入門書に於ける典型的な展開を復習してみると，まず開集合系により位相空間を定義し，閉集合，近傍系，開核作用素，閉包作用素などの基本的な概念を定義してその性質を調べる．その後に実はこれらが位相空間の定義と同値であることを確認するといったところから始まると思う．ではここでいう定義の同値性とは何であろうか．これを検討し，厳密に定式化する．

Contents

1  開集合系の定める位相空間  1
2  閉集合系の定める位相空間  3
3  近傍系の定める位相空間  4
4  開核作用素の定める位相空間  5
5  閉包作用素の定める位相空間  6
6  定義の同値性  8

位相空間論は二十世紀に始まり現代に至るまで深く研究されてきた．その歴史の中で多くの有名な書籍が著されたが，位相空間の導入の仕方は実に様々な方法が採られている． 2018 年現在しばしば入門書として挙げられる有名な教科書の一つに諸々の定義は「同値」であると書かれているものがある．併し開集合系による定義と近傍系による定義を比較すると，抑も指し示す集合が同一のものになりえないことが分るであろう．ここで「同値性」とはどういう意味で用いられているのかという疑問が自然に生じるが，種々の定義に対応して定まる異なる圏が圏同型であると言い表すと非常に分りやすい．之を証明することがこの文書ファイルの目的である．

Notation 0.1 特に断らなければ ZFC+ 任意の基数よりも大きい強到達不能基数が存在するという体系で考えるものとし， Grothendieck 宇宙 𝒱 と， 𝒱 を含む Grothendieck 宇宙 𝒲 とを一つずつ固定する． \underline{1 開集合系の定める位相空間タイトル}

1 開集合系の定める位相空間

Definition 1.1 (開集合系の定める位相空間) 組 ⟨X, 𝔒⟩ が開集合系の定める位相空間であるとは，

(O1) 𝔒 は X の部分集合系である． (O2) 𝔒 の元 U, V について，その共通部分 U ∩ V は 𝔒 の元である． (O3) Λ を添字集合とする 𝔒 の元の族 (U_{λ})_{λ∈Λ} について，その合併 ⋃_{λ∈Λ} U_{λ} は 𝔒 の元である．

を満たすことである．

Definition 1.2 (開集合系の定める位相空間の射) ⟨X, 𝔒_{X}⟩， ⟨Y, 𝔒_{Y} ⟩ を開集合系の定める位相空間とする． f が ⟨X, 𝔒_{X}⟩ から ⟨Y, 𝔒_{Y} ⟩ への開集合系の定める位相空間の射であるとは，

(1) f は X から Y への写像であり， 𝔒_{Y} の元 U について f^{−1}[U] は 𝔒_{X} の元である．

を満たすことである．

Example 1.3 (開集合系の定める位相空間の射の例：恒等射) ⟨X, 𝔒_{X}⟩ を開集合系の定める位相空間とする．このとき id_{X} は ⟨X, 𝔒_{X}⟩ から ⟨X, 𝔒_{X}⟩ への開集合系の定める位相空間の射である．実際， 𝔒_{X} の元 U について

id_{X}[U] = {x ∈ X | id_{X}(x) ∈ U}  (1)
= {x ∈ X | x ∈ U}  (2)
= U  (3)

(4)

が成立するので id_{X}[U] は 𝔒_{X} の元であることがわかるのでよい．

Proposition 1.4 (開集合系の定める位相空間の射の結合性) ⟨X, 𝔒_{X}⟩， ⟨Y, 𝔒_{Y} ⟩， ⟨Z, 𝔒_{Z}⟩ を開集合系の定める位相空間とし， f を ⟨X, 𝔒_{X}⟩ から ⟨Y, 𝔒_{Y} ⟩ への開集合系の定める位相空間の射とし， g を ⟨Y, 𝔒_{Y} ⟩ から ⟨Z, 𝔒_{Z}⟩ への開集合系の定める位相空間の射とする．このとき gf は ⟨X, 𝔒_{X}⟩ から ⟨Z, 𝔒_{Z}⟩ への開集合系の定める位相空間の射である．

Proof) 𝔒_{Z} の元 U を任意に取る．このとき， U の gf による逆像は

gf^{−1}[U] = g^{−1}[f^{−1}[U]]  (5)

(6)

と書かれるが， f が開集合系の定める位相空間の射なので f^{−1}[U] は 𝔒_{Y} の元であり， g が開集合系の定める位相空間の射なので g^{−1}[f^{−1}[U]] は 𝔒_{X} の元である． U の取り方に留意すれば gf が開集合系の定める位相空間の射であることが分る． □ \underline{2 閉集合系の定める位相空間タイトル}

Notation 1.5 次の記法を用いる．

Ob(TopOp) = {⟨X, 𝔒_{X}⟩ | ⟨X, 𝔒_{X}⟩ は 𝒱 -small な開集合系の定める位相空間である． }  (7)
Mor(TopOp) = {f | 𝒱 -small な開集合系の定める位相空間⟨X, 𝔒_{X}⟩, ⟨Y, 𝔒_{Y} ⟩ が存在し，  (8)
f は ⟨X, 𝔒_{X}⟩ から⟨Y, 𝔒_{Y} ⟩ への開集合系の定める位相空間の射である． }  (9)

Proposition 1.6 組 ⟨Ob(TopOp), Mor(TopOp)⟩ は圏である．

Proof) 容易である． □

2 閉集合系の定める位相空間

Definition 2.1 (閉集合系の定める位相空間) 組 ⟨X, 𝔄⟩ が閉集合系の定める位相空間であるとは，

(A1) 𝔄 は X の部分集合系である． (A2) 𝔄 の元 F, G について，その共通部分 F ∩ G は 𝔄 の元である． (A3) Λ を添字集合とする 𝔄 の元の族 (F_{λ})_{λ∈Λ} について，その合併 ⋃_{λ∈Λ} F_{λ} は 𝔄 の元である．

を満たすことである．

Definition 2.2 (閉集合系の定める位相空間の射) ⟨X, 𝔄_{X}⟩， ⟨Y, 𝔄_{Y} ⟩ を閉集合系の定める位相空間とする． f が ⟨X, 𝔄_{X}⟩ から ⟨Y, 𝔄_{Y} ⟩ への閉集合系の定める位相空間の射であるとは，

(1) f は X から Y への写像であり， 𝔄_{Y} の元 F について f^{−1}[F] は 𝔄_{X} の元である．

を満たすことである．

Example 2.3 (閉集合系の定める位相空間の射の例：恒等射) ⟨X, 𝔄_{X}⟩ を閉集合系の定める位相空間とする．このとき id_{X} は ⟨X, 𝔄_{X}⟩ から ⟨X, 𝔄_{X}⟩ への閉集合系の定める位相空間の射である．実際， 𝔄_{X} の元 F について

id_{X}[F] = {x ∈ X | id_{X}(x) ∈ F }  (10)
= {x ∈ X | x ∈ F }  (11)
= F  (12)

(13)

が成立するので id_{X}[F] は 𝔄_{X} の元であることがわかるのでよい．

Proposition 2.4 (閉集合系の定める位相空間の射の結合性) ⟨X, 𝔄_{X}⟩， ⟨Y, 𝔄_{Y} ⟩， ⟨Z, 𝔄_{Z}⟩ を閉集合系の定める位相空間とし， f を ⟨X, 𝔄_{X}⟩ から ⟨Y, 𝔄_{Y} ⟩ への閉集合系の定める位相空間の射とし， g を ⟨Y, 𝔄_{Y} ⟩ から ⟨Z, 𝔄_{Z}⟩ への閉集合系の定める位相空間の射とする．このとき gf は ⟨X, 𝔄_{X}⟩ から ⟨Z, 𝔄_{Z}⟩ への閉集合系の定める位相空間の射である． \underline{3 近傍系の定める位相空間タイトル}

Proof) 𝔄_{Z} の元 F を任意に取る．このとき， F の gf による逆像は

gf^{−1}[F] = g^{−1}[f^{−1}[F]]  (14)

(15)

と書かれるが， f が閉集合系の定める位相空間の射なので f^{−1}[F] は 𝔄_{Y} の元であり， g が閉集合系の定める位相空間の射なので g^{−1}[f^{−1}[F]] は 𝔄_{X} の元である． F の取り方に留意すれば gf が閉集合系の定める位相空間の射であることが分る． □

Notation 2.5 次の記法を用いる．

Ob(TopCl) = {⟨X, 𝔄_{X}⟩ | ⟨X, 𝔄_{X}⟩ は 𝒱 -small な閉集合系の定める位相空間である． }  (16)
Mor(TopCl) = {f | 𝒱 -small な閉集合系の定める位相空間⟨X, 𝔄_{X}⟩, ⟨Y, 𝔄_{Y} ⟩ が存在し，  (17)
f は ⟨X, 𝔄_{X}⟩ から⟨Y, 𝔄_{Y} ⟩ への閉集合系の定める位相空間の射である． }  (18)

Proposition 2.6 組 ⟨Ob(TopCL), Mor(TopCl)⟩ は圏である．

Proof) 容易である． □

3 近傍系の定める位相空間

Definition 3.1 (近傍系の定める位相空間) 組 ⟨X, 𝔙_{X}: X → 𝒫 (X)⟩ が近傍系の定める位相空間であるとは，

(V1) 𝔙_{X} の第 y 成分 𝔙_{X}(y) の元 V にについて， y ∈ V が成立する． (V2) 𝔙_{X} の第 y 成分 𝔙_{X}(y) について， 𝔙_{X}(y) の元 V_{1}, V_{2} に対して V_{1} ∩ V_{2} ∈ 𝔙_{X}(y) が成立する． (V3) 𝔙_{X} の第 y 成分 𝔙_{X}(y) と X の部分集合 S とについて， V ⊂ S なる 𝔙_{X}(y) の元 V が存在するならば

S ∈ 𝔙_{X}(y) が成立する． (V4) 𝔙_{X} の第 y 成分 𝔙_{X}(y) の元 V について， 𝔙_{X}(y) の元 W であって z ∈ W ならば V ∈ 𝔙_{X}(z) が成立

するものが存在する．

を満たすことである．

Definition 3.2 (近傍系の定める位相空間の射) ⟨X, 𝔙_{X}⟩, ⟨Y, 𝔙_{Y} ⟩ を近傍系の定める位相空間とする． f が ⟨X, 𝔙_{X}⟩ から ⟨Y, 𝔙_{Y} ⟩ への近傍系の定める位相空間の射であるとは，

(1) f は X から Y への写像であり， X の元 x に対して V ∈ 𝔙_{Y} (f(x)) ならば f^{−1}[V] ∈ 𝔙_{X}(x) が成立する．

\underline{4 開核作用素の定める位相空間タイトル}

を満たすことである． Example 3.3 (近傍系の定める位相空間の射の例：恒等射) ⟨X, 𝔙_{X}⟩ を近傍系の定める位相空間とする．このとき id は ⟨X, 𝔙_{X}⟩ から ⟨X, 𝔙_{X}⟩ への近傍系の定める位相空間の射である．実際， x ∈ X と V ∈ 𝔙_{X}(x) とについて，

id_{X}[V] = {x ∈ X | id_{X}(x) ∈ V }  (19)
= {x ∈ X | x ∈ V }  (20)
= V  (21)

(22)

が成立するので id_{X}[V] は 𝔙_{X}(x) の元であることがわかるのでよい．

Proposition 3.4 (近傍系の定める位相空間の射の結合性) ⟨X, 𝔙_{X}⟩， ⟨Y, 𝔙_{Y} ⟩， ⟨Z, 𝔙_{Z}⟩ を近傍系の定める位相空間とし， f を ⟨X, 𝔙_{X}⟩ から ⟨Y, 𝔙_{Y} ⟩ への近傍系の定める位相空間の射とし， g を ⟨Y, 𝔙_{Y} ⟩ から ⟨Z, 𝔙_{Z}⟩ への近傍系の定める位相空間の射とする．このとき gf は ⟨X, 𝔙_{X}⟩ から ⟨Z, 𝔙_{Z}⟩ への近傍系の定める位相空間の射である．

Proof) X の元 x と 𝔙_{Z}(gf(x)) の元 V とを任意にとる．このとき， V の gf による逆像は

gf^{−1}[V] = g^{−1}[f^{−1}[V]]  (23)

と書かれるが， f は近傍系の定める位相空間の射なので f^{−1}[V] は 𝔙_{Y} (f(x)) の元であり， g は近傍系の定める位相空間の射なので g^{−1}[f^{−1}[V]] は 𝔙_{X}(gf(x)) の元である． V の取り方に留意すれば gf が近傍系の定める位相空間の射であることが分る． □

Notation 3.5 次の記法を用いる．

Ob(TopNe) = {⟨X, 𝔙_{X}⟩ | ⟨X, 𝔙_{X}⟩ は 𝒱 -small な近傍系の定める位相空間である． }  (24)
Mor(TopNe) = {f | 𝒱 -small な近傍系の定める位相空間⟨X, 𝔙_{X}⟩, ⟨Y, 𝔙_{Y} ⟩ が存在し，  (25)
f は ⟨X, 𝔙_{X}⟩ から⟨Y, 𝔙_{Y} ⟩ への近傍系の定める位相空間の射である． }  (26)

Proposition 3.6 組 ⟨Ob(TopNe), Mor(TopNe)⟩ は圏である．

Proof) 容易である． □

4 開核作用素の定める位相空間

Definition 4.1 (開核作用素の定める位相空間) 組 ⟨X, int: 𝒫 (X) → 𝒫 (X)⟩ が開核作用素の定める位相空間であるとは，

(OK1) int(X) = X である． (OK2) X の部分集合 S について， int(S) ⊂ S が成立する． (OK3) X の部分集合 S, T について， int(S ∩ T) = int(S) ∩ int(T) が成立する． (OK4) int ∘ int = int である．を満たすことである．

Definition 4.2 (開核作用素の定める位相空間の射) ⟨X, int_{X}⟩， ⟨Y, int_{Y} ⟩ を開核作用素の定める位相空間とする． f が ⟨X, int_{X}⟩ から ⟨X, int_{Y} ⟩ への開核作用素の定める位相空間の射であるとは，

(1) f は X から Y への写像であり， 𝒫 (Y) の元 S について f^{−1}[int_{Y} (S)] ⊂ int_{X}(f^{−1}[S]) が成立する．

を満たすことである．

Example 4.3 (開核作用素の定める位相空間の射の例：恒等射) ⟨X, int_{X}⟩ を開核作用素の定める位相空間とする．このとき id_{X} は ⟨X, int_{X}⟩ から ⟨X, int_{X}⟩ への開核作用素の定める位相空間の射である．実際， X の部分集合 S について

int_{X}(id_{X}^{−1}[S]) = int_{X}(S)  (27)
= id_{X}^{−1}[int_{X}(S)]  (28)

(29)

が成立するのでよい．

Proposition 4.4 (開核作用素の定める位相空間の射の結合性) ⟨X, int_{X}⟩， ⟨Y, int_{Y} ⟩， ⟨Z, int_{Z}⟩ を閉集合系の定める位相空間とし， f を ⟨X, int_{X}⟩ から ⟨Y, int_{Y} ⟩ への閉集合系の定める位相空間の射とし， g を ⟨Y, int_{Y} ⟩ から ⟨Z, int_{Z}⟩ への閉集合系の定める位相空間の射とする．このとき gf は ⟨X, int_{X}⟩ から ⟨Z, int_{Z}⟩ への閉集合系の定める位相空間の射である．

Proof) 𝒫 (X) の元 S を任意にとる．このとき，

gf^{−1}[int_{Z}(S)] = g^{−1}[f^{−1}[int_{Z}(S)]]  (30)
⊂ g^{−1}[int_{Y} (f^{−1}[S])]  (31)
⊂ int_{X}(g^{−1}[f^{−1}[S]])  (32)
= int_{X}(gf^{−1}[S])  (33)

が成立するので， S の取り方に留意すれば gf は開核作用素の定める位相空間の射であることが分る． □

Notation 4.5 次の記法を用いる．

Ob(TopOK) = {⟨X, int_{X}⟩ | ⟨X, int_{X}⟩ は 𝒱 -small な開核作用素の定める位相空間である． }  (34)
Mor(TopOK) = {f | 𝒱 -small な開核作用素の定める位相空間⟨X, int_{X}⟩, ⟨Y, int_{Y} ⟩ が存在し， (35)
f は ⟨X, int_{X}⟩ から⟨Y, int_{Y} ⟩ への開核作用素の定める位相空間の射である． }  (36)

Proposition 4.6 組 ⟨Ob(TopOK), Mor(TopOK)⟩ は圏である．

Proof) 容易である． □ \underline{5 閉包作用素の定める位相空間タイトル}

5 閉包作用素の定める位相空間

Definition 5.1 (閉包作用素の定める位相空間) 組 ⟨X, cl: 𝒫 (X) → 𝒫 (X)⟩ が閉包作用素の定める位相空間であるとは，

(CC1) cl(∅) = ∅ である． (CC2) X の部分集合 S について， cl(S) ⊃ S が成立する． (CC3) X の部分集合 S, T について， cl(S ∪ T) = cl(S) ∪ cl(T) が成立する． (CC4) cl ∘ cl = cl である．

を満たすことである．

Definition 5.2 (閉包作用素の定める位相空間の射) ⟨X, cl_{X}⟩， ⟨Y, cl_{Y} ⟩ を閉包作用素の定める位相空間とする． f が ⟨X, cl_{X}⟩ から ⟨X, cl_{Y} ⟩ への閉包作用素の定める位相空間の射であるとは，

(1) f は X から Y への写像であり， 𝒫 (Y) の元 S について f^{−1}[cl_{Y} (S)] ⊃ cl_{X}(f^{−1}[S]) が成立する．

を満たすことである．

Example 5.3 (閉包作用素の定める位相空間の射の例：恒等射) ⟨X, cl_{X}⟩ を開核作用素の定める位相空間とする．このとき id_{X} は ⟨X, cl_{X}⟩ から ⟨X, cl_{X}⟩ への開核作用素の定める位相空間の射である．実際， X の部分集合 S について

cl_{X}(id_{X}^{−1}[S]) = cl_{X}(S)  (37)
= id_{X}^{−1}[cl_{X}(S)]  (38)

(39)

が成立するのでよい．

Proposition 5.4 (閉包作用素の定める位相空間の射の結合性) ⟨X, cl_{X}⟩， ⟨Y, cl_{Y} ⟩， ⟨Z, cl_{Z}⟩ を閉集合系の定める位相空間とし， f を ⟨X, cl_{X}⟩ から ⟨Y, cl_{Y} ⟩ への閉集合系の定める位相空間の射とし， g を ⟨Y, cl_{Y} ⟩ から ⟨Z, cl_{Z}⟩ への閉集合系の定める位相空間の射とする．このとき gf は ⟨X, cl_{X}⟩ から ⟨Z, cl_{Z}⟩ への閉集合系の定める位相空間の射である．

Proof) 𝒫 (X) の元 S を任意にとる．このとき，

gf^{−1}[cl_{Z}(S)] = g^{−1}[f^{−1}[cl_{Z}(S)]]  (40)
⊃ g^{−1}[cl_{Y} (f^{−1}[S])]  (41)
⊃ cl_{X}(g^{−1}[f^{−1}[S]])  (42)
= cl_{X}(gf^{−1}[S])  (43)

が成立するので， S の取り方に留意すれば gf は閉包作用素の定める位相空間の射であることが分る． □ \underline{6 定義の同値性タイトル}

Notation 5.5 次の記法を用いる．

Ob(TopCC) = {⟨X, cl_{X}⟩ | ⟨X, cl_{X}⟩ は 𝒱 -small な閉包作用素の定める位相空間である． }  (44)
Mor(TopCC) = {f | 𝒱 -small な閉包作用素の定める位相空間⟨X, cl_{X}⟩, ⟨Y, cl_{Y} ⟩ が存在し， (45)
f は ⟨X, cl_{X}⟩ から⟨Y, cl_{Y} ⟩ への閉包作用素の定める位相空間の射である． }  (46)

Proposition 5.6 組 ⟨Ob(TopCC), Mor(TopCC)⟩ は圏である． Proof) 容易である． □

6 定義の同値性

前節までで 5 つの方法で位相空間を定義したが，これらはよく知られているようにこれらは「同値」である．この節では之を圏同値という方法で捉え直す．この節は現時点では書きかけであり，特に証明は省略されている．必要であれば，例えば松坂先生の著した集合・位相入門を参照されたい．

6.1 開集合系と閉集合系

Notation 6.1 組 ⟨X, 𝔒⟩ を開集合系の定める位相空間とするとき，

𝔄_{𝔒} = {S ∈ 𝒫 (X) | S = X − O なる𝔒の元O が存在する．}

と書く．また組 ⟨X, 𝔄⟩ を閉集合系の定める位相空間とするとき，

𝔒_{𝔄} = {S ∈ 𝒫 (X) | S = X − A なる𝔄の元A が存在する．}

と書く．

Proposition 6.2 ⟨X, 𝔒⟩ を開集合系の定める位相空間とするとき，組 ⟨X, 𝔄_{𝔒}⟩ は閉集合系の定める位相空間である．

Proposition 6.3 ⟨X, 𝔄⟩ を閉集合系の定める位相空間とするとき，組 ⟨X, 𝔒_{𝔄}⟩ は開集合系の定める位相空間である．

Notation 6.4 このサブセクションに於いて対応 F_{Ob}, F_{Mor} を次で定める．

F_{Ob} : Ob(TopOp) ⟶ Ob(TopCl)
⟨X, 𝔒⟩  ⟼ ⟨X, 𝔄_{𝔒}⟩
F_{Mor} : Mor(TopOp) ⟶ Mor(TopCl)
f ⟼ f

このとき，先述した命題により共に写像であることが分る．

Proposition 6.5 組 ⟨F_{Ob}, F_{Mor}⟩ は圏同型である． Proof) 逆の候補を構成して，函手であることを示して，互いに逆であることを示せばよく，容易である． □ \underline{6 定義の同値性タイトル 6.2. 開集合系と開核作用素}

6.2 開集合系と開核作用素

Notation 6.6 組 ⟨X, 𝔒⟩ を開集合系の定める位相空間とするとき，

\begin{aligned}int_{𝔒} & 𝒫 (X) & ⟶ & 𝒫 (X) \\ & S & ⟼ & ⋃\{O ∈ 𝔒 | O ⊂ S\} \end{aligned}

と書く．また組 ⟨X, int⟩ を開核作用素の定める位相空間とするとき，

𝔒_{int} = {O ∈ 𝒫 (X) | O = int(S) なる𝒫 (X) の元S が存在する．}

と書く． Proposition 6.7 組 ⟨X, 𝔒⟩ を開集合系の定める位相空間とするとき，組 ⟨X, int_{𝔒}⟩ は開核作用素の定める位相空間である． Proposition 6.8 組 ⟨X, int⟩ を開核作用素の定める位相空間とするとき，組 ⟨X, 𝔒_{int}⟩ は開集合系の定める位相空間である． Notation 6.9 このサブセクションに於いて対応 F_{Ob}, F_{Mor} を次で定める．

F_{Ob} : Ob(TopOp) ⟶ Ob(TopOK)
⟨X, 𝔒⟩  ⟼ ⟨X, int_{𝔒}⟩
F_{Mor} : Mor(TopOp) ⟶ Mor(TopOK)
f ⟼ f

このとき，先述した命題により共に写像であることが分る． Proposition 6.10 組 ⟨F_{Ob}, F_{Mor}⟩ は圏同型である． Proof) 逆の候補を構成して，函手であることを示して，互いに逆であることを示せばよく，容易である． □

6.3 閉集合系と閉包作用素

Notation 6.11 組 ⟨X, 𝔄⟩ を閉集合系の定める位相空間とするとき，

\begin{aligned}cl_{𝔄} & 𝒫 (X) & ⟶ & 𝒫 (X) \\ & S & ⟼ & ⋂\{F ∈ 𝔄 | F ⊃ S\} \end{aligned}

と書く．また組 ⟨X, cl⟩ を閉包作用素の定める位相空間とするとき，

𝔄_{cl} = {A ∈ 𝒫 (X) | A = cl(S) なる𝒫 (X) の元S が存在する．}

と書く． \underline{6 定義の同値性タイトル 6.4. 開集合系と近傍系} Proposition 6.12 組 ⟨X, 𝔄⟩ を閉集合系の定める位相空間とするとき，組 ⟨X, cl_{𝔄}⟩ は閉包作用素の定める位相空間である． Proposition 6.13 組 ⟨X, cl⟩ を閉包作用素の定める位相空間とするとき，組 ⟨X, 𝔄_{cl}⟩ は閉集合系の定める位相空間である． Notation 6.14 このサブセクションに於いて対応 F_{Ob}, F_{Mor} を次で定める．

F_{Ob} : Ob(TopCl) ⟶ Ob(TopCC)
⟨X, 𝔄⟩ ⟼ ⟨X, cl_{𝔄}⟩
F_{Mor} : Mor(TopCl) ⟶ Mor(TopCC)
f ⟼ f

このとき，先述した命題により共に写像であることが分る． Proposition 6.15 組 ⟨F_{Ob}, F_{Mor}⟩ は圏同型である． Proof) 逆の候補を構成して，函手であることを示して，互いに逆であることを示せばよく，容易である． □

6.4 開集合系と近傍系

Notation 6.16 組 ⟨X, 𝔒⟩ を開集合系の定める位相空間とするとき，

\begin{aligned}𝔙_{𝔒} & X & ⟶ & 𝒫 (X) \\ & x & ⟼ & \{S ∈ 𝒫 (X) | x ∈ S ⊂ O なる𝔒の元O が存在する．\} \end{aligned}

と書く．また組 ⟨X, 𝔙⟩ を近傍系の定める位相空間とするとき，

𝔒_{𝔙} = {O ∈ 𝒫 (X) | y が O の元ならばV ⊂ O なる𝔙(y) の元V が存在する．}

と書く． Proposition 6.17 組 ⟨X, 𝔒⟩ を開集合系の定める位相空間とするとき，組 ⟨X, 𝔙_{𝔒}⟩ は近傍系の定める位相空間である． Proposition 6.18 組 ⟨X, 𝔙⟩ を近傍系の定める位相空間とするとき，組 ⟨X, 𝔒_{𝔙} は開集合系の定める位相空間である． Notation 6.19 このサブセクションに於いて対応 F_{Ob}, F_{Mor} を次で定める．

F_{Ob} : Ob(TopOp) ⟶ Ob(TopNe)
⟨X, 𝔒⟩  ⟼ ⟨X, 𝔙_{𝔒}⟩
F_{Mor} : Mor(TopOp) ⟶ Mor(TopNe)
f ⟼ f

このとき，先述した命題により共に写像であることが分る．

References  タイトル  6.5. 結論

Proposition 6.20 組 ⟨F_{Ob}, F_{Mor}⟩ は圏同型である． Proof) 逆の候補を構成して，函手であることを示して，互いに逆であることを示せばよく，容易である． □

6.5 結論

最後にこの文書ファイルの目的の命題を示す．

Proposition 6.21 次の 5 つの圏は互いに圏同型である．

(1) TopOp
(2) TopCl
(3) TopNe
(4) TopOK
(5) TopCC

Proof) ここまでの議論を総合するのみであり，容易である． □

References