チコノフの定理

B1 サクラ 2016 年 11 月 12 日

Abstract

チコノフの定理は, コンパクト空間の直積空間もコンパクトであると云う主張である. コンパクトの捉えにくさからか, 単純な主張の割に, 難しい印象を抱きがちである. 今回はフィルターの概念を以て位相空間の諸概念を特徴づけ, それを用いてチコノフの定理を示す.

Contents

1  素朴な位相空間論  1
2  フィルターの一般論  4
3  フィルターと位相空間, チコノフの定理  6

1 素朴な位相空間論

ここでは, 位相空間論の基礎を復習することで, フィルターを導入するモチベーションを確認する. 証明を省略した命題については, 参考文献を参照されたい.

1.1 位相空間の基本的な用語

このサブセクションでは位相空間の基本的な用語を説明する.

Definition 1.1 (位相空間) X を集合, 𝒪 を X の部分集合系とするとき, (X, 𝒪) が位相空間 (topological space) であるとは, 次を満たすことである. (O1) 𝒪 は ∅, X を元として含む. (O2) O_{1}, O_{2} が 𝒪 の元ならば, O_{1} ∩ O_{2} は 𝒪 の元である. (O3) (O_{λ})_{λ∈Λ} が 𝒪 の部分集合系ならば, ⋃_{λ∈Λ} O_{λ} は 𝒪 の元である. 位相空間 (X, 𝒪) が与えられたとき, X を台と, 𝒪 を位相 (topology) と云う. また X の元 x を X の点と云う.

このサブセクションでは, (X, 𝒪) (X′, 𝒪′ ) は位相空間とする. また位相空間 (X, 𝒪) を位相空間 X と書く場合もある.

Definition 1.2 (近傍) x ∈ X であるとき, X の部分集合 V が x の近傍であるとは, V の部分集合であって, x を含むような開集合 O が存在することを云う. また, x を含むような近傍全体を x の近傍系と云い, 𝒱_{X}(x) と書く.

Proposition 1.3 近傍系 𝒱_{X}(x) について, 次が成立する.

(V1) 𝒱_{X}(x) の元 V について, 点 x を含む. (V2) 𝒱_{X}(x) の元 V_{1}, V_{2} について, V_{1} ∩ V_{2} は点 x の近傍である. (V3) 𝒱_{X}(x) の元 V について, V ⊂ V′ なる X の部分集合 V′ は点 x の近傍である. (V4) 𝒱_{X}(x) の元 V について, V が W の任意の点 y の近傍となるような近傍 W ∈ 𝒱_{X}(x) が存在する.

Proof) 定義より明らかである. □

この四つの性質は近傍系を特徴付けている. また今回の発表には直接の関係はないが, 近傍系全体から開集合系が復元できるため, 開集合の公理 (O1), (O2), (O3) と近傍系の公理 (V1), (V2), (V3), (V4) とは同値であることが知られている.

Definition 1.4 (連続写像) 写像 f: X ⟶ X′ が連続であるとは, X′ の開集合 O について, f による逆像 f^{−1}(O) が X の開集合であることである.

Proposition 1.5 写像 f: X ⟶ X′ が連続であるための必要十分条件は, 任意の点 x に対して, f(x) の近傍 V′ の逆像 f^{−1}(V′) が X に於いて x の近傍であることである.

Proof) 簡単であるため, 証明は省略する. □

この特徴付けから, f(x) の近傍 V′ の逆像 f^{−1}(V′) が X に於いて x の近傍であるとき, 写像 f は点 x で連続であると云う.

Definition 1.6 (生成された位相) X の部分集合系 𝒮 について, 𝒮 を含む最弱の位相を 𝒮 によって生成された位相と云う.

Proposition 1.7 X の部分集合系 𝒮 について,

𝒮′ = {S | S は 𝒮 の元の有限個の共通部分 },
𝒮′′ = {S | S は 𝒮′の元の任意個の和集合 }

のように定めると, 𝒮′′ は 𝒮 を含む最弱の位相である.

Proof) 簡単であるため, 証明は省略する. □

この命題から, X の任意の部分集合系 𝒮 に対して, 𝒮 により生成された位相の存在が分かる.

Definition 1.8 (コンパクト) X の部分集合 S がコンパクトであるとは, 開集合系 (O_{λ})_{λ∈Λ} が S ⊂ ⋃_{λ∈Λ} O_{λ} を満たすならば, 有限部分開集合系 (O_{λ_{i}})_{i=1,...,n} で S ⊂ ⋃_{i=1,...,n} O_{λ_{i}} を満たすものが存在することである^{*1}.

コンパクト性の有限交叉性を用いた特徴付けを与えておく. ここで集合系 𝒳 が有限交叉性を持つとは, X_{1}, …, X_{n} ∈ 𝒳 ならば, ⋂_{i=1,...,n} X_{i} ≠ ∅ を満たすことである.

Proposition 1.9 位相空間 (X, 𝒪) がコンパクトであることと, X の有限交叉性を持つ部分集合系 𝒮 について, ⋂_{S∈𝒮} S̄ ≠ ∅ が成立することは同値である.

Proof) コンパクトの定義の対偶をとれば,

𝒳 が閉集合系の部分集合ならば,⋂ 𝒳 ≠ ∅.

を得る. ここで,

𝒮′ := {S̄ | S ∈ 𝒮 }

とおくと, 𝒮′ は有限交叉性を持つ閉集合系の部分集合より, 必要であることがわかる. 十分であることは明らかである. □

Proposition 1.10 写像 f: X ⟶ X′ が連続であり, 位相空間 (X, 𝒪) がコンパクトならば, f(X) はコンパクトである.

Proof) 位相空間 f(X) の開被覆 (O_{λ})_{λ∈Λ} を任意にとる. 写像 f の連続性から, 被覆 (f^{−1}(O_{λ}))_{λ∈Λ} は X の開被覆である. X がコンパクトであることより有限開被覆 (f^{−1}(O_{λ_{i}}))_{i=1,...,n} が存在し, (O_{λ_{i}})_{i=1,...,n} は f(X) の開被覆であるから, 位相空間 f(X) はコンパクトである. □

1.2 直積位相空間とチコノフの定理

直積位相を定義したのち, 今回の主定理であるチコノフの定理の主張を紹介する.

Definition 1.11 (直積位相) ((𝒪_{λ}, X_{λ}) )_{λ∈Λ} を位相空間族, X = ∏_{λ∈Λ} X_{λ} を集合の直積とするとき,

𝒪 := {pr_{λ}^{−1}(O_{λ}) | λ ∈ Λ, O_{λ} ∈ 𝒪_{λ}}

により生成される位相を直積位相 (product topology) と云い, 位相空間 (X, 𝒪) を直積位相空間と云う.

Theorem 1.12 (Tychonoff) 位相空間族 ((X_{λ}, 𝒪_{λ}) )_{λ∈Λ} と直積位相空間 (X, 𝒪) とについて, 任意の λ ∈ Λ に対して, (X_{λ}, 𝒪_{λ}) がコンパクトであることは, (X, 𝒪) がコンパクトであることの必要十分条件である.

Proof) 必要条件であることは簡単であるためここで示す. λ ∈ Λ を任意にとると, pr_{λ} は連続写像であるから, pr_{λ}(X) = X_{λ} はコンパクトである. □

*1 条件 S ⊂ ⋃_{λ∈Λ} O_{λ} を満たす集合系を S の被覆と云い, 特に開集合系のとき, 開被覆と云う. この用語を用いると, コンパクトで

あることは任意の開被覆が有限部分被覆を持つことと言い換えられる.

2 フィルターの一般論

先のセクションでチコノフの定理の主張に到ったが, 証明の道具としてフィルターの準備をする. フィルターなる概念は, 歴史的には点列の一般化を目論み導入されたものだが, 位相空間上のみならず, 一般に半順序集合に定まる一種の構造である. このセクションでは, 半順序として包含関係を考え, フィルターの一般論を扱うことにする. 差し当たり超フィルターの存在を目標とする.

Definition 2.1 (フィルター) X を集合, ℱ を X の部分集合系とするとき, ℱ が X 上のフィルター (filter) であるとは次を満たすことである.

(F1) ℱ は ∅ を元として含まず, X を元として含む. (F2) F_{1}, F_{2} が ℱ の元ならば, F_{1} ∩ F_{2} は ℱ の元である. (F3) X の部分集合 Y について, F ⊂ Y なる ℱ の元 F が存在すれば, Y も ℱ の元である.

Remark 2.2 フィルターは有限交叉性を持つ. 実際, 交わりが空であるような二つの元 F_{1}, F_{2} を ℱ が持つと仮定すれば, (F2) より, ∅ ∈ ℱ となる. これは (F1) に矛盾している.

Example 2.3 x を集合 X の元とし, X の部分集合系 ℱ_{1} を次のように定めると, ℱ_{1} はフィルターである.

ℱ_{1} := {F ∈ 𝒫 (X) | x ∈ F }.

Example 2.4 A を集合 X の空でない部分集合とし, X の部分集合系 ℱ_{2} を次のように定めると, ℱ_{2} はフィルターである.

ℱ_{2} := {F ∈ 𝒫 (X) | A ⊂ F }.

Example 2.5 無限集合 X の部分集合系 ℱ_{3} を次のように定めると, ℱ_{3} はフィルターである.

ℱ_{3} := {F ∈ 𝒫 (X) | F^{c}は有限集合 }.

Definition 2.6 (フィルターの比較) X 上の二つのフィルター ℱ , ℱ′ に対して, ℱ が ℱ′ より細かいとは, ℱ′ ⊂ ℱ を満たすことであり, このとき, ℱ′ は ℱ より粗いとも云う.

Example 2.7 先の例に於いて, x ∈ A を満たすならば, ℱ_{2} は ℱ_{1} より粗く, ℱ_{1} は ℱ_{2} より細かい.

Proposition 2.8 集合 X の空でない部分集合系 𝒳 に対して,

𝒳 ′ := {S | S は 𝒳 の有限個の共通部分 },
𝒳 ′′ := {S | 𝒳 ′の元 T で, T ⊂ S なるものが存在 }

とおくとき, 𝒳 ′′ がフィルターであることと, ∅ ∉ 𝒳 ′ をみたすこととは同値である.

Proof) 定義より明らかである. □

この命題から, 次に記すフィルターの生成の定義が妥当であると分かる.

Definition 2.9 (フィルターの生成) 集合 X の部分集合系 𝒳 が与えられ, 𝒳 が有限交叉性を持つとき, 𝒳 を含む最小のフィルターのことを 𝒳 により生成されたフィルターと云い, ⟨𝒳 ⟩ と書く.

次に, 任意のフィルターに対して, それを含む超フィルターが存在することを示す.

Definition 2.10 (超フィルター) 集合 X 上のフィルター ℱ が超フィルター (ultrafilter) であるとは, X の任意の部分集合 A について, A ∈ ℱ または A^{c} ∈ ℱ が成立することである.

Definition 2.11 (極大フィルター) 集合 X 上のフィルター全体を Φ とするとき, Φ には集合としての包含関係による順序が入り, この順序集合に於ける極大元を極大フィルターと云う.

Proposition 2.12 集合 X 上のフィルター ℱ について, ℱ を含む極大フィルターが存在する.

Proof) Zorn の補題^{*2}を適用できることを調べれば良い. □

ℱ を含む極大フィルターを 𝒰 (ℱ) と書く.

Proposition 2.13 集合 X 上のフィルター ℱ について, ℱ が極大フィルターであることと, ℱ が超フィルターであることとは同値である.

Proof) 超フィルター ℱ を含む極大フィルターを ℱ′ とおく. A ∈ ℱ′ を任意にとると,

A ∈ ℱ′
⇔ A^{c} ∉ ℱ′
⇒ A^{c} ∉ ℱ
⇔ A ∈ ℱ

が従う. よって ℱ′ ⊂ ℱ より, ℱ = ℱ′ を得る.

逆について, 対偶を示す. 超フィルターでないフィルター ℱ を任意にとると, ある X の部分集合 A で, A ∉ ℱ かつ A^{c} ∉ ℱ を満たすものが存在する. この A について,

∀F ∈ ℱ [F ⊄ A ∧ F^{c} ⊄ A^{c}] ⇒ ∀F ∈ ℱ [A ∩ F ≠ ∅]

が成立することから, ℱ ∪ {A} は有限交叉性を持ち, ℱ より真に細かいフィルター ⟨ℱ ∪ {A}⟩ が構成できたため, ℱ は極大フィルターでない. □

*2 チコノフの定理は選択公理と同値であることが知られているため, 当然, 選択公理は仮定している. 以後, 特に断ることなく選択公

理を用いる.

以上より, 超フィルターは極大元であること, フィルター ℱ を含む超フィルター 𝒰 (ℱ) が存在すること, 有限交叉性を持つ集合 𝒳 を含む超フィルター 𝒰 (𝒳 ) = 𝒰 (⟨𝒳 ⟩) が存在することなどが分かった. 以後, この記法を用いることにする.

Proposition 2.14 集合 X 上のフィルター ℱ について, 写像 f: X → Y による二重逆像 f_{−1}(ℱ) := {S ∈ 𝒫(Y) | f^{−1}(S) ∈ ℱ } は有限交叉性を持つ.

Proof) 簡単であるため, 証明は省略する. □

Proposition 2.15 集合 X 上の超フィルター 𝒰 について, 写像 f: X → Y による二重逆像 f_{−1}(𝒰 ) は超フィルターである.

Proof) Y の部分集合 S を任意にとる. このとき, (f^{−1}(S))^{c} = f^{−1}(S^{c}) に注意すると, f^{−1}(S) ∉ 𝒰 ⇔ f^{−1}(S^{c}) ∈ 𝒰 より, S ∉ f_{−1}(𝒰 ) ⇔ S^{c} ∈ f_{−1}(𝒰 ) を得る. 以上より示された. □

3 フィルターと位相空間, チコノフの定理

フィルターの基本的な性質を利用して点列の収束, 連続, コンパクト性などの諸概念を特徴付けていく. その過程で, フィルターを用いて定義される収束が点列の収束の拡張であることが分かるであろう.

Definition 3.1 (近傍フィルター) 位相空間 (X, 𝒪) について, 点 x ∈ X の近傍系 𝒱_{X} (x) はフィルターであり, 点 x の近傍フィルターと云う.

Definition 3.2 (点列に伴う集合系) 位相空間 (X, 𝒪) について, 点列 S = (x_{n})_{n∈ℕ} に対して, S_{n} := {x_{i} | i ≥ n} と定める. 集合系 (S_{n})_{n∈ℕ} を点列に伴う集合系と云う.

Definition 3.3 (点列に伴う基礎フィルター) 位相空間 (X, 𝒪) について, 点列 S = (x_{n})_{n∈ℕ} からなる集合系 (S_{n})_{n∈ℕ} は有限交叉性を持ち, ℱ (S) = ⟨(S_{n})_{n∈ℕ}⟩ を点列 S に伴う基礎フィルターと云う.

Definition 3.4 (フィルターの収束) 位相空間 (X, 𝒪) について, X 上の有限交叉性を持つ部分集合系 𝒳 が点 x に収束するとは, フィルター ⟨𝒳 ⟩ が点 x の近傍フィルター 𝒱_{X} (x) を含むことである.

𝒳 がフィルターならば 𝒳 = ⟨𝒳 ⟩ であることに注意されたい. また, この定義の妥当性は次から分かる.

Remark 3.5 フィルターの収束は距離空間に於ける点列の収束の一般化になっている. 実際, 点列 S = (x_{n})_{n∈ℕ} が点 x に収束することは,

∀ε > 0∃N > 0∀n ∈ ℕ[n ≥ N ⇒ d(x_{n}, x) < ε]

と定義されるが, 之は明らかに

𝒱_{X} (x) ⊂ ℱ (S)

と同値である.

Definition 3.6 (写像のフィルターによる極限値) 集合 X から位相空間 (Y, 𝒪_{Y}) への写像 f と X 上のフィルター ℱ について, 点 y ∈ Y が写像 f のフィルター ℱ による極限値であるとは, 近傍系 𝒱_{Y} (y) が f(ℱ) の生成するフィルターの部分集合として含まれることである. このことを象徴的^{*3}に次のように書く.

y = lim_{ℱ}f.

また, f が位相空間 (X, 𝒪_{X}) からの写像であって, 点 y ∈ Y が写像 f のフィルター 𝒱_{X} (a) による極限値であるとき, 次のように書く.

y = lim_{x→a} f (x) .

Proposition 3.7 位相空間 (X, 𝒪_{X}) から (Y, 𝒪_{Y}) への写像 f について, f が点 a ∈ X で連続であることと, 点 f (a) ∈ Y が写像 f のフィルター 𝒱_{X} (a) による極限値であることとは同値である.

Proof) 簡単であるため, 証明は省略する. □

Proposition 3.8 位相空間 (X, 𝒪_{X}) について, X 上の任意の超フィルター 𝒰 が収束することは, (X, 𝒪_{X}) がコンパクトであることの必要十分条件である.

Proof) 先ず必要条件であることを示す. 超フィルター 𝒰 を任意にとる. コンパクトの特徴付けから, ⋂_{U∈𝒰} Ū ≠ ∅ が成立し, x ∈ ⋂_{U∈𝒰} Ū が取れる. 即ち 𝒱_{X}(x) ∪ 𝒰 は有限交叉性を持ち, 𝒰 の極大性から 𝒱_{X}(x) ⊂ 𝒰 が従う. よって 𝒰 は収束する. 次に十分条件であることを示す. 有限交叉性を持つ X の部分集合系 𝒳 を任意にとる. 𝒳 の元 S を任意にとると, S ∈ 𝒰 (𝒳 ) より, S̄^{c} ∉ 𝒰 (𝒳 ) である. ここで, 位相空間 X の閉集合系を 𝒜 と書き, 𝒰 (𝒳 ) が x に収束するとすれば,

S̄^{c} ∉ 𝒰 (𝒳 ) ⇒ S̄^{c} ∉ 𝒱_{X}(x) ⇒ x ∉ S̄^{c} ∈ 𝒪 ⇔ x ∈ S̄ ∉ 𝒜

より, x ∈ S̄ が得られ, ⋂_{S∈𝒳} S̄ ≠ ∅ が従う. よってコンパクトの特徴付けから, X がコンパクトであることが示された. □

Proposition 3.9 位相空間族 ((X_{λ}, 𝒪_{λ}) )_{λ∈Λ} と直積位相空間 (X, 𝒪) とについて, ℱ を X 上のフィルターとすると, 任意の λ ∈ Λ に対して, X_{λ} 上のフィルター ⟨pr_{λ}(ℱ)⟩ が点 pr_{λ} (x) に収束することは, ℱ が点 x ∈ X に収束することの必要十分条件である.

Proof) 先ず必要条件であることは, フィルターによる連続性の特徴付けより明らか. 次に十分条件であることを示す. x の開近傍 V を任意にとる. 直積位相空間の定義から, V は

V = ⋃_{μ∈M} V_{μ} (ただし, V_{μ}は X の基底.)

= ⋃_{μ∈M} ⋂_{i=1}^{n_{μ}} pr_{μ_{i}}^{−1}(O_{μ_{i}}) (ただし, O_{μ_{i}} ∈ 𝒪_{μ_{i}}.)

*3 一般にフィルターの収束先は一意に定まらない. 実際, 任意の収束フィルターが一意に収束することは, ∀U ∈ 𝒱_{X}(x)∀V ∈

𝒱_{X}(y)[U ∩ V ≠ ∅] ⇒ x = y として書かれるが, 之はハウスドルフ空間の公理の対偶である.

と書ける. 仮定に注意すると,

O_{μ_{i}} ∈ 𝒱_{X_{μ_{i}}} (pr_{μ_{i}}(x)) ⊂ ⟨pr_{μ_{i}}(ℱ)⟩

が成立し, pr_{μ_{i}}(F) ⊂ O_{μ_{i}} を満たすような F ∈ ℱ が存在する. この F について,

F ⊂ pr_{μ_{i}}^{−1}(pr_{μ_{i}}(F)) ⊂ pr_{μ_{i}}^{−1}(O_{μ_{i}})

が成立するので, pr_{μ_{i}}^{−1}(O_{μ_{i}}) ∈ ℱ を得る. よって, ℱ の有限交叉性に注意して,

V_{μ} = ⋂_{i=1}^{n_{μ}} pr_{μ_{i}}^{−1}(O_{μ_{i}}) ∈ ℱ

より, V ∈ ℱ が得られた. □

以上ですべての道具が揃った. 最後にチコノフの定理を鮮やかに証明しよう.

Theorem 3.10 (Tychonoff) 位相空間族 ((X_{λ}, 𝒪_{λ}) )_{λ∈Λ} と直積位相空間 (X, 𝒪) とについて, 任意の λ ∈ Λ に対して, (X_{λ}, 𝒪_{λ}) がコンパクトであることは, (X, 𝒪) がコンパクトであることの必要十分条件である.

Proof) 必要であることは既に示したので, 十分であることを示す. 超フィルター 𝒰 を任意にとる. 二重逆像 pr_{λ−1}(𝒰 ) は超フィルターである. (X_{λ}, 𝒪_{λ}) はコンパクトであるから, pr_{λ−1}(𝒰 ) は点 x_{λ} に収束するとしてよい. λ の取り方は任意であったので, 点 x = (x_{λ})_{λ∈Λ} とおくと, pr_{λ−1}(𝒰 ) は pr_{λ} (x) に収束する. よって, 超フィルターの取り方は任意であったこととひとつ前の命題とから, (X, 𝒪) はコンパクトである. □

このように, フィルターなる道具を用意することにより, 簡単にチコノフの定理を示すことができた. 位相空間論とフィルターとはよく馴染む. 他の概念をフィルターを通して見ることで, 認識が深まると思う.

一部の命題は, チコノフの定理の証明に不要な一般化を避けたため, フィルターの有用性が十分に表現できなかったかもしれない. しかし, 先にも記したように, フィルターそのものは一般的な概念であって, 数学基礎論や解析学に於いても広く利用されている概念であることを補足しておく. これらは今回のテーマにそぐわないのみならず, 現在の私の能力の及ぶところでないために, 以上で筆を擱くことにする.

References

[1] 松坂和夫 (1968) 『集合・位相入門』 , 岩波書店

[2] ブルバキ著, 森毅・清水達雄訳 (1968) 『ブルバキ数学原論 位相 1』 , 東京書店

[3] トレーブ著, 松浦重武訳 (1986) 『位相ベクトル空間・超関数・核 上（数学叢書）』 , 吉岡書店