環付サクラ空間

記法

$\langle X,<\rangle$を順序集合とするとき， \[ {\mathop{\mathfrak{B}}\nolimits}^{r}(\langle X,<\rangle)=\{[x,\infty)\mid x\in X \},\\ {\mathop{\mathfrak{O}}\nolimits}^{r}(\langle X,<\rangle)=\langle\mathfrak{B}(\langle X,<\rangle)\rangle_{\mathrm{top}} \] と書く． この位相${\mathop{\mathfrak{O}}\nolimits}^{r}(\langle X,<\rangle)$を右位相と云う． $X$が明白な場合は${\mathop{\mathfrak{B}}\nolimits}^{r}(<),{\mathop{\mathfrak{O}}\nolimits}^{r}(<)$と書き， $<$が明白な場合は${\mathop{\mathfrak{B}}\nolimits}^{r}(X),{\mathop{\mathfrak{O}}\nolimits}^{r}(X)$と書く． 左位相も同様に定義する．

命題2-a-1

$\langle X,<\rangle$を順序集合とするとき， ${\mathop{\mathfrak{B}}\nolimits}^{r}(\langle X,<\rangle)$は右位相の開基である．

証明

${\mathop{\mathfrak{B}}\nolimits}^{r}(\langle X,<\rangle)$の$2$元$[a,\infty),[b,\infty)$を取るとき， この交叉$[a,\infty)\cap[b,\infty)$は \[ [a,\infty)\cap[b,\infty) =\bigcup_{c\in[a,\infty)\cap[b,\infty)}[c,\infty) \] と${\mathop{\mathfrak{B}}\nolimits}^{r}(\langle X,<\rangle)$の元の合併で書かれる． 以て${\mathop{\mathfrak{B}}\nolimits}^{r}(\langle X,<\rangle)$が右位相の開基であることが示された．

命題2-a-2

$\langle X,<\rangle$を順序集合とし， $\mathscr{O}$を${\mathop{\mathfrak{O}}\nolimits}^{r}(<)$の部分集合とするとき， $\mathscr{O}$の交叉は開集合である．

証明

先ず \begin{align*} \bigcap\mathscr{O} &=\bigcap_{O\in\mathscr{O}}O\\ &=\bigcap_{O\in\mathscr{O}}(\bigcup_{c\in O}[c,\infty))\\ &=\bigcup_{c\in\bigcap_{O\in\mathscr{O}}O}[c,\infty) \end{align*} と変形されることに注意する． 以て開基の元の合併で記述できることが分ったので開集合であることが示された．

命題2-a-3

$\langle X,<\rangle$を順序集合とし， $x$を$X$の元とするとき， \[ {\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\langle X,<\rangle}({x})=(-\infty,x] \] が成立する．

証明

先ず， \begin{align*} {\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X({x}) &=\bigcap_{A\text{は}\{x\}\text{を含む閉集合}}A\\ &=\bigcap_{O\text{は}\{x\}\text{と交叉しない開集合}}O^c\\ &=\bigcap_{\{x\}\cap[a,\infty) }[a,\infty)^c\\ &=\bigcap_{a\not\leq x }[a,\infty)^c\\ &=(\bigcup_{a\not\leq x }[a,\infty))^c\\ &\supset(-\infty,x] \end{align*} が成立する． ここで$(-\infty,x]$は閉集合なので， 閉包の最小性から${\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X({x})=(-\infty,x]$が得られる．

定義

位相空間$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$が$T_0$であるとは，
($1$) $X$の相異なる点$a$，$b$に対して，$a\in O$かつ$b\not\in O$なる開集合$O$の存在か$a\not\in O$かつ$b\in O$なる開集合$O$の存在かの少なくとも一方が成立している．
を満たすことである．$T_0$位相空間のことをコルモゴロフ空間ともいう．

命題2-b

$\langle X,<\rangle$を順序集合とするとき， 右位相で$T_0$空間である．

証明

$X$の相異なる点$a$，$b$を任意に取る． $a$と$b$とが比較可能ならば$a命題2-c-1 $T_0$位相空間$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$について， 開集合からなる任意の部分集合系の交叉が開であると仮定する． このとき$R=\{\langle a,b\rangle\mid a\in{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(\{b \}) \}$とおくと， 之は$X$上の順序である．

証明

$R$が$X$上の関係であることは$R$の定義よりよいので順序関係であることを示す． 反射律について， $X$の点$x$を任意に取ると$x\in{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(x)$より$x\mathrel{R}x$である． 反対称律について， $X$の点$x$，$y$であって$x\mathrel{R}y$かつ$y\mathrel{R}x$なるものを任意に取る． このとき$x\mathrel{R}y$と$y$を含む任意の閉集合が$x$を含むこととが同値であることに留意すれば， 任意の閉集合に対して$x$を含むことと$y$を含むこととの同値性が分る． 以て任意の開集合に対して$x$を含むことと$y$を含むこととが同値なので， $X$の$T_0$性より$x=y$が得られる． 推移律について， $X$の点$x$，$y$，$z$であって$x\mathrel{R}y$かつ$y\mathrel{R}z$なるものを任意に取る． このとき$z$を含む閉集合$A$を任意に取ると， $y\mathrel{R}z$より$y\in A$であり， $x\mathrel{R}y$より$x\in A$であるので， $x\mathrel{R}z$が得られる．

命題2-c-2

$T_0$位相空間$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$について， 開集合からなる任意の部分集合系の交叉が開であると仮定する． 先の命題で定義された順序$\mathrel{R}$について， ${\mathop{\mathfrak{O}}\nolimits}^{r}(\mathrel{R})=\mathfrak{O}$が成立する．

証明

先ず$X$の元$a$に対して， \begin{align*} [a,\infty) &=\{x\in X\mid a\mathrel{R}x \}\\ &=\{x\in X\mid \forall A\in{\mathop{\mathfrak{A}}\nolimits}_X(\mathfrak{O})[x\in A\Longrightarrow a\in A] \}\\ &=\{x\in X\mid \forall O\in\mathfrak{O}[a\in O\Longrightarrow x\in O] \}\\ &=\bigcap_{a\in O\in\mathfrak{O}}O \end{align*} と変形される． これに留意すると${\mathop{\mathfrak{B}}\nolimits}^{r}(\mathrel{R})\subset\mathfrak{O}$より${\mathop{\mathfrak{O}}\nolimits}^{r}(\mathrel{R})\subset\mathfrak{O}$が得られる． 逆の包含について， $\mathfrak{O}$の元$O$を任意に取ると， $O=\bigcup_{a\in O}(\bigcap_{a\in O\in\mathfrak{O}}O)=\bigcup_{a\in O}([a,\infty))$が成立するので$O\in{\mathop{\mathfrak{O}}\nolimits}^{r}(\mathrel{R})$が得られるのでよい． 以上より示された．

命題2-d

$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$を$T_0$位相空間とするとき， $X$の非空有限部部集合$S$は孤立点を持つ．

証明

$X$の有限部分集合$S$を任意にとる． 部分空間$S$の開集合系は高々有限集合なので， 任意濃度の開集合族の交叉について閉じている． 即ち部分空間の位相$S$から定まる半順序$R$について， $S$の有限性に注意すれば最小元$a$が取れる． ここで最小性から$b\in{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits }_S(a)$ならば$b=a$が成立することに留意すれば， ${\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits }_S(a)=\{a\}$が得られ， $a$が孤立点であることが得られた．