1章1節問4の解答
命題4
$\langle \mathbb{R},\mathfrak{O}_{\mathbb{R}}\rangle$の開集合$O_1$，$O_2$であって，
$O_1\cap{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_2)$，
${\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_1)\cap O_2$，
${\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_1)\cap{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_2)$，
${\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_1\cap O_2)$が相異なるようなものが存在する．
証明
$O_1=(-3,0)\cup(1,2)$，
$O_2=(-2,-1)\cup(0,3)$を考えればよい．
実際，
\begin{align*}
O_1\cap{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_2)&=[-2,-1]\cup(1,2)\\
{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_1)\cap O_2&=(-2,-1)\cup[1,2]\\
{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_1)\cap{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_2)&=[-2,-1]\cup\{0\}\cup[1,2]\\
{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{\mathbb{R}}(O_1\cap O_2)&=[-2,-1]\cup[1,2]
\end{align*}
が成立する．
数学
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