1章1節問6の解答
命題6
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$を位相空間とし，
$A$を$X$の部分集合とするとき次は同値である．
(2) $A$は任意の稠密部分集合と交叉する．
(1) ${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)\not=\emptyset$が成立する.
証明
($2$)ならば($1$)について，
稠密部分集合$D$を任意に取ると，
${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)\not=\emptyset$より$\emptyset\not={\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)\cap D\subset A\cap D$が得られるのでよい．
($1$)ならば($2$)について対偶を示す．
${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)=\emptyset$が成立しているとき，
$A$の補集合は稠密であり，
これは$A$と交叉を持たない．
実際，
$X$の非空開集合$O$を任意にとり，
$O$の点$x$を任意に取る．
$x\not\in A$のときは$A$の補集合に$x$は含まれるのでよく，
$x\in A$のときは，
${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)=\emptyset$が成立しているので，
$A$の補集合と$O$とは交叉を持つ．
数学
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