1章1節問7の解答
命題7-1
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$を位相空間とするとき，
第二可算ならば可分である．
証明
可算稠密部分集合$D$を構成すればよい．
第二可算性より$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$の可算開基$\mathfrak{B}$を取る．
$\mathfrak{B}$の各元から一点を選択する選択関数$f$を取り，
この像を$D$と置く．
このとき$D$は可算稠密部分集合である．
実際，
可算であることは$f$の定義から$|D|\leq|\mathfrak{B}|=\aleph_0$が従うのでよく，
稠密性は$X$の非空開集合$O$を任意に取ると，
$O$に含まれる$\mathfrak{B}$の元$B$が存在し，
$f(B)\in B\subset O$より$D\cap O\not=\emptyset$が従うのでよい．
命題7-2
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$を位相空間とするとき，
第二可算ならば，
任意の部分空間について孤立点は高々可算個である．
証明
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$は第二可算であるから，
可算な開基$\mathfrak{B}$が取れる．
$X$の部分集合$S$を任意に取り，
部分空間$S$の孤立点全体を${\mathop{\mathrm{IS}}\nolimits}(S)$と置く．
このとき$\mathfrak{B}$が可算であることに注意すれば，
${\mathop{\mathrm{IS}}\nolimits}(S)$から$\mathfrak{B}$への単射$f$が構成できれば十分である．
以下，これを構成する．
${\mathop{\mathrm{IS}}\nolimits}(S)$の元$a$を任意に取ると，
$a$は孤立点であるから$\{a\}$は$S$に於ける開集合であり，
$O\cap S=\{a\}$なる$\mathfrak{O}$の元$O$が存在する．
このとき$\mathfrak{B}$が$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$の開基であるので，
$a\in U\subset O$なる$\mathfrak{B}$の元$U$が存在し，
これも$B\cap S=\{a\}$を満たす．
ここで$f(a)=B$と置けば$f$は求める単射である．
命題7-3
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$を位相空間とするとき，
可分ならば可算鎖条件を満たす．
証明
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$は可分であるので，
可算な稠密部分集合$D$が存在する．
$X$の非空開集合からなる反鎖$(O_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$を任意に取ると，
$D\cap O_{\lambda}$は非空である．
この元を一つ取り$a_{\lambda}$と置くと，
$\lambda\not=\mu$ならば$O_{\lambda}\cap O_{\mu}=\emptyset$であるから，
$a_{\lambda}\not=a_{\mu}$が成立する．
以てこの族は$\Lambda$から$D$への単射であり，
$\Lambda$は高々可算である．
命題7-4
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$を位相空間とするとき，
任意の部分空間について孤立点が高々可算個ならば，可算鎖条件を満たす．
証明
対偶を示す．
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$が可算鎖条件を満たさないと仮定すると，
非空開集合からなる非可算な反鎖$(O_{\alpha})_{\alpha\in\omega_1}$が取れる．
このとき各$O_{\alpha}$より点$a_{\alpha}$を取り，
$S=\{a_{\alpha}\in X\mid \alpha\in\omega_1\}$と置くと，
部分空間$S$は任意に点が孤立点であり，
特に孤立点が非可算個存在する．
数学
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