1章2節問1の解答
命題2-1
位相空間$\langle X, \mathfrak{O} \rangle$，$\langle X',\mathfrak{O} \rangle'$および写像$f\colon X\rightarrow X'$に対して次は同値である．(1)$f$は連続写像である．
(2)$X'$の任意の部分集合$S'$に対して$f^{-1}[{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_{X'}(S')] \subset {\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(f^{-1}[S'])$が成立する．
(3)$X'$の任意の部分集合$S'$に対して$f^{-1}[{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{X'}(S')] \supset {\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(f^{-1}[S'])$が成立する．
証明
(1)と(2)の同値性を示す． まず(1)を仮定しよう． $X'$の部分集合$S'$を任意にとるとき， ${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_{X'}(S') \subset S'$が成立するので逆像に関して$f^{-1}[{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_{X'}(S')] \subset f^{-1}[S']$が成立する． このとき(1)より$f$は連続であるから$f^{-1}[{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_{X'}(S')]$が開集合であることが分かり， 開核の最大性に留意すれば$f^{-1}[{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_{X'}(S')] \subset {\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(f^{-1}[S'])$が成立する． 逆に(2)を仮定する． このとき$X'$の開集合$O'$を任意にとると， 仮定より$f^{-1}[O]=f^{-1}[{\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_{X'}(O')] \subset {\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(f^{-1}[O'])$が成立する． 一方，一般に$f^{-1}[O] \supset {\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(f^{-1}[O'])$が成立するので， $f^{-1}[O]={\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(f^{-1}[O'])$が分かる． よって$O'$の取り方は任意であるので$f$が連続であることが得られる．次に(1)と(3)の同値性を示すが，これは(1)と(2)の同値性と殆ど同様である． まず(1)を仮定しよう． $X'$の部分集合$S'$を任意にとるとき， ${\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{X'}(S') \supset S'$が成立するので逆像に関して$f^{-1}[{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{X'}(S')] \supset f^{-1}[S']$が成立する． このとき(1)より$f$は連続であるから$f^{-1}[{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{X'}(S')]$が閉集合であることが分かり， 閉包の最小性に留意すれば$f^{-1}[{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{X'}(S')] \supset {\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(f^{-1}[S'])$が成立する． 逆に(3)を仮定する． このとき$X'$の閉集合$C'$を任意にとると， 仮定より$f^{-1}[C']=f^{-1}[{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_{X'}(C')] \supset {\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(f^{-1}[C'])$が成立する． 一方，一般に$f^{-1}[C'] \subset {\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(f^{-1}[C'])$が成立するので， $f^{-1}[C']={\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(f^{-1}[C'])$が分かる． よって$C'$の取り方は任意であるので$f$が連続であることが得られる．