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森田同値だが環同型でない例

命題

RおよびRであって森田同値だが環同型でないものが存在する.

構成

整域Aをとる. これは例えばZなどを取ればよい. これを用いてR=AR=M(2,A)とおく.

証明

同型でないことは零因子の有無を比べればよい.

森田同値であることは, P=R2と置けばこれは有限生成射影加群であり, End(P)M(2,R)=Rが成立することに留意して森田の定理を適用すれば分かる.