1章1節問1の解答
命題1-1
$X=\{a,b \}$とするとき，
$X$に入る位相は$4$つである．
証明
列挙すると$\mathfrak{O}_1$，$\mathfrak{O}_2$，$\mathfrak{O}_3$，$\mathfrak{O}_4$通りである．
\[
\mathfrak{O}_1=\{\emptyset,X \},
\mathfrak{O}_2=\{\emptyset,\{a\},X \},
\mathfrak{O}_3=\{\emptyset,\{b\},X \},
\mathfrak{O}_4=\{\emptyset,\{a\},\{b\},X \}.
\]
これらが位相であることは容易に分る．
逆に上記の集合以外が位相でないことについては，
$\emptyset$と$X$とが含まれていなければならないことだけから分る．
命題1-2
$X=\{a,b,c \}$とするとき，
$X$に入る位相は$29$つである．
証明
$\emptyset$と$X$とが含まれていなければならないため，
位相に含まれる$1$元集合の数$a$と$2$元集合の数$b$との組$\langle a,b\rangle$で場合分けを行なえば全ての場合が尽くされる．
$a=3$の場合は位相は冪集合でなければならず，$b=3$の場合も同様である．
$\langle a,b\rangle=\langle 0,0\rangle$の場合は位相は密着位相でなければならない．
$\langle a,b\rangle=\langle 1,0\rangle$の場合，$1$元集合の選び方により$3$通りである．
$\langle a,b\rangle=\langle 2,0\rangle$の場合，もし存在すると仮定すれば合併について閉じていることと$2$元集合が存在しないこととで矛盾するので，$0$通りである．
$\langle a,b\rangle=\langle 0,1\rangle$の場合，$2$元集合の選び方により$3$通りである．
$\langle a,b\rangle=\langle 1,1\rangle$の場合，$1$元集合と$2$元集合とはそれぞれ独立に選べるので$9$通りである．
$\langle a,b\rangle=\langle 2,1\rangle$の場合，合併について閉じているので$1$元集合を決めれば$2$元集合が決まるため，$3$通りである．
$\langle a,b\rangle=\langle 0,2\rangle$の場合，もし存在すると仮定すれば交叉について閉じていることと$1$元集合が存在しないこととで矛盾するので，$0$通りである．
$\langle a,b\rangle=\langle 1,2\rangle$の場合，交叉について閉じているので$2$元集合を決めれば$1$元集合が決まるため，$3$通りである．
$\langle a,b\rangle=\langle 2,2\rangle$の場合，$1$元集合を決めたとき$2$元集合の交叉として異なる$1$元集合が現れなければよいことがわかるため，$6$通りである．
以上の考察より$29$通りである．
実際，
列挙すると次の通りである．
\begin{gather*}
\mathfrak{O}_{1}=\mathfrak{P}(X),\\
\mathfrak{O}_{2}=\{\emptyset,X \},\\
\mathfrak{O}_{3}=\{\emptyset,\{a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{4}=\{\emptyset,\{b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{5}=\{\emptyset,\{c\},X \},\\
\mathfrak{O}_{6}=\{\emptyset,\{a,b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{7}=\{\emptyset,\{b,c\},X \},\\
\mathfrak{O}_{8}=\{\emptyset,\{c,a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{9}=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{10}=\{\emptyset,\{a\},\{b,c\},X \},\\
\mathfrak{O}_{11}=\{\emptyset,\{a\},\{c,a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{12}=\{\emptyset,\{b\},\{a,b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{13}=\{\emptyset,\{b\},\{b,c\},X \},\\
\mathfrak{O}_{14}=\{\emptyset,\{b\},\{c,a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{15}=\{\emptyset,\{c\},\{a,b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{16}=\{\emptyset,\{c\},\{b,c\},X \},\\
\mathfrak{O}_{17}=\{\emptyset,\{c\},\{c,a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{18}=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{19}=\{\emptyset,\{b\},\{c\},\{b,c\},X \},\\
\mathfrak{O}_{20}=\{\emptyset,\{c\},\{a\},\{c,a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{21}=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},X \},\\
\mathfrak{O}_{22}=\{\emptyset,\{b\},\{b,c\},\{b,a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{23}=\{\emptyset,\{c\},\{c,a\},\{c,b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{24}=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{b,c\},X \},\\
\mathfrak{O}_{25}=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{c,a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{26}=\{\emptyset,\{b\},\{c\},\{b,c\},\{a,b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{27}=\{\emptyset,\{b\},\{c\},\{b,c\},\{c,a\},X \},\\
\mathfrak{O}_{28}=\{\emptyset,\{c\},\{a\},\{c,a\},\{a,b\},X \},\\
\mathfrak{O}_{29}=\{\emptyset,\{c\},\{a\},\{c,a\},\{b,c\},X \}.\\
\end{gather*}
数学
1章1節問1の解答