1章1節問6の解答

命題6

$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$を位相空間とし, $A$を$X$の部分集合とするとき次は同値である.
(2) $A$は任意の稠密部分集合と交叉する.
(1) ${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)\not=\emptyset$が成立する.

証明

($2$)ならば($1$)について, 稠密部分集合$D$を任意に取ると, ${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)\not=\emptyset$より$\emptyset\not={\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)\cap D\subset A\cap D$が得られるのでよい. ($1$)ならば($2$)について対偶を示す. ${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)=\emptyset$が成立しているとき, $A$の補集合は稠密であり, これは$A$と交叉を持たない. 実際, $X$の非空開集合$O$を任意にとり, $O$の点$x$を任意に取る. $x\not\in A$のときは$A$の補集合に$x$は含まれるのでよく, $x\in A$のときは, ${\mathop{\mathrm{int}}\nolimits}_X(A)=\emptyset$が成立しているので, $A$の補集合と$O$とは交叉を持つ.