1章1節問8の解答
命題8
$\langle X,\mathfrak{O}\rangle$を位相空間とし，
$A$を$X$の部分集合とするとき，
$A$が孤立点を持たないならば${\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(A)$も孤立点を持たない．
証明
対偶を示す．
${\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(A)$が孤立点を持つような部分集合$A$を取る．
このとき仮定より$A$の元$a$であって，
$\{a\}={\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(A)\cap O$を満たす$X$の開集合$O$が存在するようなものが取れる．
特に$A\cap O\subset{\mathop{\mathrm{cl}}\nolimits}_X(A)\cap O$が成立するため，
$a\not\in A$ならば$a$は$A$の触点たり得なく，
この対偶を取れば$a\in A$が分る．
以て$\{a\}=A\cap O$であり，
$A$は孤立点を持つ．
数学
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