森田同値だが環同型でない例
命題
環$R$および$R'$であって森田同値だが環同型でないものが存在する．
構成
整域$A$をとる． これは例えば$\mathbb{Z}$などを取ればよい． これを用いて$R=A$，$R'=\mathrm{M}(2,A)$とおく．
証明
同型でないことは零因子の有無を比べればよい．
森田同値であることは， $P=R^{\oplus 2}$と置けばこれは有限生成射影加群であり， $\mathop{\mathrm{End}}(P)\cong \mathop{\mathrm{M}}(2,R)=R'$が成立することに留意して森田の定理を適用すれば分かる．