反例：圏の局所化

局所小圏の局所化だが局所小圏でない例

命題

$\mathscr{V}$をGrothendieck宇宙とするとき， $\mathscr{V}$-局所小な圏$\mathscr{C}$とその射の部分集合$S$とが存在し， $\mathscr{C}$の$S$による局所化$\mathscr{C}_{S}$が$\mathscr{V}$-局所小でないものが存在する．

構成

$\mathscr{C}$を次で構成する． \begin{gather*} \mathrm{Ob}(\mathscr{C})=\{ \langle v,0 \rangle \mid v \in \mathscr{V} \},\\ \mathrm{Mor}(\mathscr{C})=\{ \langle w,1 \rangle \mid w \in \mathscr{V}-\{\emptyset\} \} \cup \{ \langle w,2 \rangle \mid w \in \mathscr{V}-\{\emptyset\} \} \cup \{ \langle v,3 \rangle \mid v \in \mathscr{V} \},\\ \mathrm{dom}( \langle w,1 \rangle ) = \mathrm{dom}( \langle w,2 \rangle ) = \langle \emptyset,0 \rangle,\\ \mathrm{cod}( \langle w,1 \rangle ) = \mathrm{cod}( \langle w,2 \rangle ) = \langle w,0 \rangle,\\ \mathrm{id}( \langle v,0 \rangle )= \langle v,3 \rangle,\\ \mathrm{dom}( \langle v,3 \rangle ) = \mathrm{cod}( \langle v,3 \rangle ) = \langle v,0 \rangle \end{gather*} とおく．但し$v$は$\mathscr{V}$の元を亘り，$w$は$\mathscr{V}$の非空集合を亘るものとする．直観的には，$\mathscr{C}$は対象$\langle \emptyset,0 \rangle$から各$\langle w,0 \rangle$なる対象へ二本の射$\langle w,1 \rangle$，$\langle w,2 \rangle$が伸びているような圏である． $\langle v,3 \rangle$は恒等射になるべき射であり，それ故に明確に合成を定義していないものの之は一意に定まる．更に射の集合$S$として \[ S = \{ \langle v,1 \rangle \mid v \in \mathscr{V}-\{\emptyset\} \} \] をとる．

証明

先ず圏$\mathscr{C}$について，これは各Hom集合の濃度が高々$2$なので$\mathscr{V}$-局所小圏である．他方，$\mathscr{C}_{S}$に於ける射$ \langle v,1 \rangle^{-1}$について，逆射の一意性より$ \langle v,1 \rangle ^{-1} \circ \langle v,2 \rangle$は恒等射でない．また， $\mathop{\mathrm{Hom}}_{\mathscr{C}_{S}}(\langle\emptyset,0\rangle,\langle\emptyset,0\rangle)$の元$f$について， $f$が恒等射でないならば$\langle w,0 \rangle$を経由するようなサイクルの合成であり，異なる$\langle w,0 \rangle$，$\langle w',0 \rangle$を経由するサイクルを合成した場合にこれは簡約できないことが圏$\mathscr{C}$の射の合成が恒等射に関するものしか存在しないことに留意すれば(圏の局所化の構成に立ち戻ることで)容易に分かる．よって \[ \begin{array}{rccc} \varphi\colon&\mathscr{V}&\longrightarrow&\mathop{\mathrm{Hom}}_{\mathscr{C}_{S}}(\langle\emptyset,0\rangle,\langle\emptyset,0\rangle)\\ &v&\longmapsto&\langle v,1\rangle^{-1} \circ \langle v,2\rangle \end{array} \] は単射であり， $\mathscr{C}_{S}$は$\mathscr{V}$-局所小圏でないことが示された．

補足

p進大好きbot氏(Twitterアカウント：@non_archimedean)に定義のill-definednessおよび記述の不備をご指摘いただき，これを訂正いたしました．感謝申し上げます．(H31/04/23)